Номер 22.10, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.10. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 22.7). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$;

б) $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$.

Рис. 22.7

Дано:
Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная.
Длина стороны основания $a = AB = 1$.
Длина бокового ребра $l = SA = 2$.

Найти:
a) скалярное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$.
б) скалярное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$.

Решение:
Скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется как $ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta) $, где $ \theta $ — угол между векторами.

a) $ \vec{SA} $ и $ \vec{SD} $
Длины векторов: $ |\vec{SA}| = l = 2 $ и $ |\vec{SD}| = l = 2 $.
Угол $ \theta_a $ между векторами $ \vec{SA} $ и $ \vec{SD} $ — это угол $ \angle ASD $.
Рассмотрим треугольник $ ASD $. Его стороны: $ SA = 2 $, $ SD = 2 $.
Основание пирамиды — правильный шестиугольник $ ABCDEF $ со стороной $ a = 1 $.
В правильном шестиугольнике длина главной диагонали (например, $ AD $) равна удвоенной длине стороны шестиугольника. Следовательно, $ AD = 2a = 2 \times 1 = 2 $.
Таким образом, треугольник $ ASD $ является равносторонним, так как $ SA = SD = AD = 2 $.
Угол в равностороннем треугольнике равен $ 60^\circ $. Поэтому $ \angle ASD = 60^\circ $.
$ \vec{SA} \cdot \vec{SD} = |\vec{SA}| |\vec{SD}| \cos(\angle ASD) = 2 \times 2 \times \cos(60^\circ) = 4 \times \frac{1}{2} = 2 $.

Ответ: $ 2 $

б) $ \vec{SA} $ и $ \vec{BC} $
Длины векторов: $ |\vec{SA}| = l = 2 $ и $ |\vec{BC}| = a = 1 $.
Для вычисления скалярного произведения векторов $ \vec{SA} $ и $ \vec{BC} $ воспользуемся декомпозицией вектора $ \vec{SA} $.
Пусть $ O $ — центр основания шестиугольной пирамиды. Тогда $ S $ проецируется в $ O $.
Вектор $ \vec{SA} $ можно представить как сумму векторов $ \vec{SO} $ и $ \vec{OA} $: $ \vec{SA} = \vec{SO} + \vec{OA} $.
Тогда $ \vec{SA} \cdot \vec{BC} = (\vec{SO} + \vec{OA}) \cdot \vec{BC} = \vec{SO} \cdot \vec{BC} + \vec{OA} \cdot \vec{BC} $.
Вектор $ \vec{SO} $ перпендикулярен плоскости основания, а вектор $ \vec{BC} $ лежит в плоскости основания. Следовательно, $ \vec{SO} \perp \vec{BC} $.
Это означает, что $ \vec{SO} \cdot \vec{BC} = 0 $.
Таким образом, $ \vec{SA} \cdot \vec{BC} = \vec{OA} \cdot \vec{BC} $.
Теперь нам нужно найти скалярное произведение $ \vec{OA} \cdot \vec{BC} $.
В правильном шестиугольнике $ ABCDEF $ с центром $ O $, длины отрезков от центра до вершин равны длине стороны шестиугольника: $ OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1 $.
Вектор $ \vec{BC} $ можно выразить как разность радиус-векторов вершин $ C $ и $ B $: $ \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} $.
$ \vec{OA} \cdot \vec{BC} = \vec{OA} \cdot (\vec{OC} - \vec{OB}) = \vec{OA} \cdot \vec{OC} - \vec{OA} \cdot \vec{OB} $.
Угол между векторами $ \vec{OA} $ и $ \vec{OB} $ ( $ \angle AOB $) равен $ 60^\circ $, так как $ \triangle AOB $ — равносторонний.
$ \vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos(60^\circ) = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $.
Угол между векторами $ \vec{OA} $ и $ \vec{OC} $ ( $ \angle AOC $) равен $ 120^\circ $, так как $ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ $.
$ \vec{OA} \cdot \vec{OC} = |\vec{OA}| |\vec{OC}| \cos(120^\circ) = 1 \times 1 \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} $.
Подставляем эти значения:
$ \vec{OA} \cdot \vec{BC} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1 $.
Следовательно, $ \vec{SA} \cdot \vec{BC} = -1 $.

Ответ: $ -1 $