Номер 22.4, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.4. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1 (рис. 22.6). Найдите угол между векторами:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$;

б) $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$.

Рис. 22.6

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

а) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$.

б) Угол между векторами $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$.

Решение:

Поскольку пирамида является правильной четырехугольной и все ее ребра равны 1, это означает, что основание $ABCD$ представляет собой квадрат со стороной 1, а все боковые грани (треугольники $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$) являются равносторонними треугольниками со стороной 1.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$

Угол между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Длины данных векторов равны 1, так как являются длинами ребер пирамиды: $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{SC}| = 1$.

Вектор $\vec{DC}$ параллелен вектору $\vec{AB}$ и имеет ту же длину, то есть $\vec{AB} = \vec{DC}$. Следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$ равен углу между векторами $\vec{DC}$ и $\vec{SC}$.

Векторы $\vec{DC}$ и $\vec{SC}$ исходят из общей точки $C$. Угол между ними — это угол $\angle SCD$ в треугольнике $SCD$.

Треугольник $SCD$ является равносторонним, поскольку все его стороны равны 1 ($SC = CD = SD = 1$).

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle SCD = 60^\circ$.

Следовательно, косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$ равен косинусу угла между $\vec{DC}$ и $\vec{SC}$:

$\cos \theta_a = \frac{\vec{DC} \cdot \vec{SC}}{|\vec{DC}| |\vec{SC}|} = \cos(\angle SCD) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Отсюда, $\theta_a = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б) $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$

Эти векторы имеют общую начальную точку $S$. Угол между ними равен углу $\angle BSD$ в треугольнике $BSD$.

Длины боковых ребер: $|\vec{SB}| = 1$ и $|\vec{SD}| = 1$.

Найдем длину стороны $BD$ треугольника $BSD$. $BD$ является диагональю квадрата основания $ABCD$ со стороной 1.

Длина диагонали квадрата вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$. В нашем случае $BD = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $BSD$ для нахождения угла $\angle BSD$ (обозначим его $\theta_b$):

$BD^2 = SB^2 + SD^2 - 2 \cdot SB \cdot SD \cdot \cos \theta_b$

$(\sqrt{2})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos \theta_b$

$2 = 1 + 1 - 2 \cos \theta_b$

$2 = 2 - 2 \cos \theta_b$

$0 = -2 \cos \theta_b$

$\cos \theta_b = 0$

Отсюда, $\theta_b = \arccos(0) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$