Номер 22.5, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Рис. 22.6

22.5. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 22.7). Найдите угол между векторами: а) $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$; б) $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$.

Рис. 22.7

Пирамида $SABCDEF$ — правильная шестиугольная пирамида.
Стороны основания $a = AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$.
Боковые ребра $l = SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$.

a) Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$.
b) Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$.

Для нахождения угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ используем формулу скалярного произведения:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$

Отсюда, $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Для удобства введем декартову систему координат. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

Так как основание — правильный шестиугольник со стороной 1, то расстояние от центра $O$ до любой вершины основания равно 1.

Высота пирамиды $SO = h$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ ($OA$ — радиус описанной окружности около основания, $OA=1$), $SA$ — боковое ребро.

$SO^2 = SA^2 - OA^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.
$SO = \sqrt{3}$.

Координаты вершины $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

Расположим вершины основания в плоскости $xy$:$A = (1, 0, 0)$
$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

a) Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$

Векторы:$\vec{SA} = A - S = (1, 0, 0) - (0, 0, \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$
$|\vec{SA}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\vec{SD} = D - S = (-1, 0, 0) - (0, 0, \sqrt{3}) = (-1, 0, -\sqrt{3})$
$|\vec{SD}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

Скалярное произведение $\vec{SA} \cdot \vec{SD}$:$\vec{SA} \cdot \vec{SD} = (1)(-1) + (0)(0) + (-\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = -1 + 0 + 3 = 2$

Косинус угла $\theta_a$ между $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$:$\cos\theta_a = \frac{\vec{SA} \cdot \vec{SD}}{|\vec{SA}| |\vec{SD}|} = \frac{2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Угол $\theta_a = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Этот результат также очевиден из геометрических свойств. В треугольнике $ASD$: $SA=2$ (боковое ребро), $SD=2$ (боковое ребро). В правильном шестиугольнике сторона $AD$ является большой диагональю, которая в два раза длиннее стороны шестиугольника. Следовательно, $AD = 2 \times 1 = 2$. Таким образом, треугольник $ASD$ является равносторонним со стороной 2, и все его углы, включая $\angle ASD$, равны $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б) Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$

Вектор $\vec{SA}$ уже найден: $\vec{SA} = (1, 0, -\sqrt{3})$ и $|\vec{SA}| = 2$.

Вектор $\vec{BC} = C - B$:$\vec{BC} = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (-1, 0, 0)$
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$

Скалярное произведение $\vec{SA} \cdot \vec{BC}$:$\vec{SA} \cdot \vec{BC} = (1)(-1) + (0)(0) + (-\sqrt{3})(0) = -1 + 0 + 0 = -1$

Косинус угла $\theta_b$ между $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$:$\cos\theta_b = \frac{\vec{SA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{SA}| |\vec{BC}|} = \frac{-1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

Угол $\theta_b = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$