Страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.1. Какой знак имеет скалярное произведение векторов, если угол

между ними: а) острый; б) тупой?

Дано:

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — модули (длины) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно, а $\theta$ — угол между этими векторами. Предполагается, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются ненулевыми, то есть $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$.

Найти:

Знак скалярного произведения векторов в двух случаях:

а) угол между векторами острый;

б) угол между векторами тупой.

Решение:

Знак скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$ зависит от знака $\cos(\theta)$, поскольку модули векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ всегда положительны (для ненулевых векторов).

а) острый

Острый угол $\theta$ находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$, то есть $0^\circ < \theta < 90^\circ$.

В этом диапазоне значений угла функция косинуса $\cos(\theta) > 0$.

Следовательно, поскольку $|\vec{a}| > 0$, $|\vec{b}| > 0$ и $\cos(\theta) > 0$, то их произведение $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)$ будет положительным.

Ответ: Положительный.

б) тупой

Тупой угол $\theta$ находится в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$, то есть $90^\circ < \theta < 180^\circ$.

В этом диапазоне значений угла функция косинуса $\cos(\theta) < 0$.

Следовательно, поскольку $|\vec{a}| > 0$, $|\vec{b}| > 0$ и $\cos(\theta) < 0$, то их произведение $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)$ будет отрицательным.

Ответ: Отрицательный.

22.2. Для куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 22.4) найдите угол между векторами:

а) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1 D_1}$;

б) $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$;

в) $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Рис. 22.4

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Тогда координаты вершин: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$.

Найти:

Угол между заданными парами векторов.

Решение:

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

а) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$

Найдем координаты векторов:

$\vec{AC} = C - A = (a,a,0) - (0,0,0) = (a,a,0)$

$\vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (0,a,a) - (a,0,a) = (-a,a,0)$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AC} \cdot \vec{B_1D_1} = (a)(-a) + (a)(a) + (0)(0) = -a^2 + a^2 + 0 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, эти векторы перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$

б) $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$

Найдем координаты векторов:

$\vec{AB} = B - A = (a,0,0) - (0,0,0) = (a,0,0)$

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (a,a,a) - (a,0,0) = (0,a,a)$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC_1} = (a)(0) + (0)(a) + (0)(a) = 0 + 0 + 0 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, эти векторы перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$

в) $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$

Найдем координаты векторов:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (a,0,a) - (0,0,0) = (a,0,a)$

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (a,a,a) - (a,0,0) = (0,a,a)$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (a)(0) + (0)(a) + (a)(a) = 0 + 0 + a^2 = a^2$

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Используем формулу для косинуса угла между векторами:

$\cos \theta = \frac{\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{AB_1}| |\vec{BC_1}|} = \frac{a^2}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$

Найдем угол $\theta$:

$\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$

22.3. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 22.5) найдите угол между векторами: а) $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$; б) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$.

Рис. 22.5

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Не требуется перевод в СИ.

Найти:

а) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$;

б) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$.

Решение:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$

В правильной треугольной призме основание $ABC$ является правильным (равносторонним) треугольником. Боковые рёбра, такие как $CC_1$, перпендикулярны плоскостям оснований.

Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости основания $ABC$.

Вектор $\vec{CC_1}$ перпендикулярен плоскости основания $ABC$, а следовательно, перпендикулярен любой прямой (и любому вектору), лежащей в этой плоскости, в том числе и вектору $\vec{AB}$.

Таким образом, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CC_1}$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

б) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$

Поскольку $ABCA_1B_1C_1$ - правильная треугольная призма, её основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются параллельными плоскостями.

Вектор $\vec{B_1C_1}$ лежит в верхнем основании $A_1B_1C_1$. Мы можем перенести (параллельно) этот вектор в нижнее основание $ABC$. При параллельном переносе вектор не меняет своего направления и длины.

Вектор $\vec{B_1C_1}$ параллелен вектору $\vec{BC}$, так как $BCB_1C_1$ является одной из боковых граней призмы (прямоугольником, поскольку призма правильная). То есть $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Треугольник $ABC$ является равносторонним, так как он является основанием правильной треугольной призмы. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$, то есть $\angle ABC = 60^\circ$.

Чтобы найти угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, необходимо привести их к общему началу. Пусть общим началом будет точка $B$. Тогда вектор $\vec{BC}$ уже имеет начало в $B$. Вектор $\vec{AB}$ можно представить как вектор, исходящий из $B$ в направлении, противоположном направлению $\vec{BA}$ (то есть, это $-\vec{BA}$). Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ равен внутреннему углу равностороннего треугольника $\angle ABC$, который составляет $60^\circ$. Угол между векторами $\vec{AB}$ (направленным от $A$ к $B$) и $\vec{BC}$ (направленным от $B$ к $C$) равен развернутому углу (линия $AB$ продолжена за $B$) минус угол $\angle ABC$. То есть, $180^\circ - \angle ABC$.

Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Это также можно подтвердить, используя скалярное произведение. Пусть длина стороны основания равна $a$. Тогда $|\vec{AB}| = a$ и $|\vec{BC}| = a$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| |\vec{BC}| \cos \theta$

Если мы расположим $A=(0,0)$, $B=(a,0)$ и $C=(a/2, a\sqrt{3}/2)$ в плоскости $Oxy$, то:

$\vec{AB} = (a,0)$

$\vec{BC} = C - B = (a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2)$

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = a \cdot (-a/2) + 0 \cdot (a\sqrt{3}/2) = -a^2/2$

Тогда $\cos \theta = \frac{-a^2/2}{a \cdot a} = \frac{-a^2/2}{a^2} = -1/2$.

Следовательно, $\theta = \arccos(-1/2) = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

22.4. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1 (рис. 22.6). Найдите угол между векторами:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$;

б) $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$.

Рис. 22.6

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

а) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$.

б) Угол между векторами $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$.

Решение:

Поскольку пирамида является правильной четырехугольной и все ее ребра равны 1, это означает, что основание $ABCD$ представляет собой квадрат со стороной 1, а все боковые грани (треугольники $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$) являются равносторонними треугольниками со стороной 1.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$

Угол между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Длины данных векторов равны 1, так как являются длинами ребер пирамиды: $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{SC}| = 1$.

Вектор $\vec{DC}$ параллелен вектору $\vec{AB}$ и имеет ту же длину, то есть $\vec{AB} = \vec{DC}$. Следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$ равен углу между векторами $\vec{DC}$ и $\vec{SC}$.

Векторы $\vec{DC}$ и $\vec{SC}$ исходят из общей точки $C$. Угол между ними — это угол $\angle SCD$ в треугольнике $SCD$.

Треугольник $SCD$ является равносторонним, поскольку все его стороны равны 1 ($SC = CD = SD = 1$).

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle SCD = 60^\circ$.

Следовательно, косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$ равен косинусу угла между $\vec{DC}$ и $\vec{SC}$:

$\cos \theta_a = \frac{\vec{DC} \cdot \vec{SC}}{|\vec{DC}| |\vec{SC}|} = \cos(\angle SCD) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Отсюда, $\theta_a = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б) $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$

Эти векторы имеют общую начальную точку $S$. Угол между ними равен углу $\angle BSD$ в треугольнике $BSD$.

Длины боковых ребер: $|\vec{SB}| = 1$ и $|\vec{SD}| = 1$.

Найдем длину стороны $BD$ треугольника $BSD$. $BD$ является диагональю квадрата основания $ABCD$ со стороной 1.

Длина диагонали квадрата вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$. В нашем случае $BD = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $BSD$ для нахождения угла $\angle BSD$ (обозначим его $\theta_b$):

$BD^2 = SB^2 + SD^2 - 2 \cdot SB \cdot SD \cdot \cos \theta_b$

$(\sqrt{2})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos \theta_b$

$2 = 1 + 1 - 2 \cos \theta_b$

$2 = 2 - 2 \cos \theta_b$

$0 = -2 \cos \theta_b$

$\cos \theta_b = 0$

Отсюда, $\theta_b = \arccos(0) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

Рис. 22.6

22.5. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 22.7). Найдите угол между векторами: а) $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$; б) $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$.

Рис. 22.7

Пирамида $SABCDEF$ — правильная шестиугольная пирамида.
Стороны основания $a = AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$.
Боковые ребра $l = SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$.

a) Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$.
b) Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$.

Для нахождения угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ используем формулу скалярного произведения:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$

Отсюда, $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Для удобства введем декартову систему координат. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

Так как основание — правильный шестиугольник со стороной 1, то расстояние от центра $O$ до любой вершины основания равно 1.

Высота пирамиды $SO = h$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ ($OA$ — радиус описанной окружности около основания, $OA=1$), $SA$ — боковое ребро.

$SO^2 = SA^2 - OA^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.
$SO = \sqrt{3}$.

Координаты вершины $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

Расположим вершины основания в плоскости $xy$:$A = (1, 0, 0)$
$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

a) Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$

Векторы:$\vec{SA} = A - S = (1, 0, 0) - (0, 0, \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$
$|\vec{SA}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\vec{SD} = D - S = (-1, 0, 0) - (0, 0, \sqrt{3}) = (-1, 0, -\sqrt{3})$
$|\vec{SD}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

Скалярное произведение $\vec{SA} \cdot \vec{SD}$:$\vec{SA} \cdot \vec{SD} = (1)(-1) + (0)(0) + (-\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = -1 + 0 + 3 = 2$

Косинус угла $\theta_a$ между $\vec{SA}$ и $\vec{SD}$:$\cos\theta_a = \frac{\vec{SA} \cdot \vec{SD}}{|\vec{SA}| |\vec{SD}|} = \frac{2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Угол $\theta_a = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Этот результат также очевиден из геометрических свойств. В треугольнике $ASD$: $SA=2$ (боковое ребро), $SD=2$ (боковое ребро). В правильном шестиугольнике сторона $AD$ является большой диагональю, которая в два раза длиннее стороны шестиугольника. Следовательно, $AD = 2 \times 1 = 2$. Таким образом, треугольник $ASD$ является равносторонним со стороной 2, и все его углы, включая $\angle ASD$, равны $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б) Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$

Вектор $\vec{SA}$ уже найден: $\vec{SA} = (1, 0, -\sqrt{3})$ и $|\vec{SA}| = 2$.

Вектор $\vec{BC} = C - B$:$\vec{BC} = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (-1, 0, 0)$
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$

Скалярное произведение $\vec{SA} \cdot \vec{BC}$:$\vec{SA} \cdot \vec{BC} = (1)(-1) + (0)(0) + (-\sqrt{3})(0) = -1 + 0 + 0 = -1$

Косинус угла $\theta_b$ между $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$:$\cos\theta_b = \frac{\vec{SA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{SA}| |\vec{BC}|} = \frac{-1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

Угол $\theta_b = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$