Страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какая прямая называется координатной прямой?

2. Что называется прямоугольной системой координат: а) на плоскости; б) в пространстве?

3. Что называется осью: а) абсцисс; б) ординат; в) аппликат?

4. Какие плоскости называются координатными плоскостями?

5. Что называется: а) абсциссой; б) ординатой; в) аппликатой точки?

1. Какая прямая называется координатной прямой?

Прямая, на которой выбраны начало отсчёта (точка О), единичный отрезок и направление (положительное), называется координатной прямой.

Ответ:

2. Что называется прямоугольной системой координат: а) на плоскости; б) в пространстве?

а) на плоскости

Прямоугольной системой координат на плоскости называется две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в начале отсчёта. Обычно одна из них горизонтальна (ось абсцисс, \(Ox\)), а другая вертикальна (ось ординат, \(Oy\)).

Ответ:

б) в пространстве

Прямоугольной системой координат в пространстве называется три взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в одной точке (начале отсчёта). Эти оси обычно обозначаются как оси абсцисс (\(Ox\)), ординат (\(Oy\)) и аппликат (\(Oz\)).

Ответ:

3. Что называется осью: а) абсцисс; б) ординат; в) аппликат?

а) абсцисс

Осью абсцисс (или осью \(Ox\)) называется горизонтальная координатная прямая в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве.

Ответ:

б) ординат

Осью ординат (или осью \(Oy\)) называется вертикальная координатная прямая в прямоугольной системе координат на плоскости или вторая (обычно горизонтальная, перпендикулярная оси абсцисс) координатная прямая в пространстве.

Ответ:

в) аппликат

Осью аппликат (или осью \(Oz\)) называется третья координатная прямая в прямоугольной системе координат в пространстве, перпендикулярная осям абсцисс и ординат.

Ответ:

4. Какие плоскости называются координатными плоскостями?

Координатными плоскостями в прямоугольной системе координат в пространстве называются плоскости, проходящие через две оси координат. Существуют три координатные плоскости: плоскость \(Oxy\) (проходящая через оси \(Ox\) и \(Oy\)), плоскость \(Oxz\) (проходящая через оси \(Ox\) и \(Oz\)) и плоскость \(Oyz\) (проходящая через оси \(Oy\) и \(Oz\)).

Ответ:

5. Что называется: а) абсциссой; б) ординатой; в) аппликатой точки?

а) абсциссой

Абсциссой точки называется её координата по оси абсцисс (\(x\)-координата).

Ответ:

б) ординатой

Ординатой точки называется её координата по оси ординат (\(y\)-координата).

Ответ:

в) аппликатой точки

Аппликатой точки называется её координата по оси аппликат (\(z\)-координата).

Ответ:

23.1. В прямоугольной системе координат в пространстве изобразите точки с координатами: $(1; 2; 3)$, $(2; -1; 1)$, $(-1; 3; 2)$.

Дано:

Точки с координатами:

$A(1; 2; 3)$

$B(2; -1; 1)$

$C(-1; 3; 2)$

Перевод в СИ:

Координаты являются безразмерными величинами в рамках данной задачи и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Изобразить точки $A$, $B$, $C$ в прямоугольной системе координат в пространстве.

Решение:

Для изображения точек в прямоугольной системе координат в пространстве необходимо построить три взаимно перпендикулярные оси: ось абсцисс ($x$), ось ординат ($y$) и ось аппликат ($z$), пересекающиеся в начале координат $O(0; 0; 0)$. Обычно ось $x$ направляют горизонтально "вперед", ось $y$ горизонтально "вправо" (перпендикулярно $x$), а ось $z$ вертикально "вверх".

Процесс построения каждой точки $(x_0; y_0; z_0)$ включает следующие шаги:

1. Отложите значение $x_0$ по оси $x$ от начала координат.

2. От полученной точки на оси $x$ отложите значение $y_0$ параллельно оси $y$ (или отложите $y_0$ по оси $y$ и от нее $x_0$ параллельно оси $x$). Это определит проекцию точки на плоскость $xy$.

3. От полученной проекции на плоскости $xy$ отложите значение $z_0$ параллельно оси $z$. Это и будет искомая точка в пространстве.

Следуя этим шагам, изобразим данные точки:

• Для точки $A(1; 2; 3)$:

  На оси $x$ отложите 1 единицу. От этой точки отложите 2 единицы параллельно оси $y$. От полученной точки на плоскости $xy$ отложите 3 единицы вверх параллельно оси $z$.

• Для точки $B(2; -1; 1)$:

  На оси $x$ отложите 2 единицы. От этой точки отложите 1 единицу параллельно оси $y$ в отрицательном направлении (влево). От полученной точки на плоскости $xy$ отложите 1 единицу вверх параллельно оси $z$.

• Для точки $C(-1; 3; 2)$:

  На оси $x$ отложите 1 единицу в отрицательном направлении (назад). От этой точки отложите 3 единицы параллельно оси $y$. От полученной точки на плоскости $xy$ отложите 2 единицы вверх параллельно оси $z$.

Поскольку я являюсь текстовым искусственным интеллектом, я не могу непосредственно создать графическое изображение. Однако, описанные выше шаги позволят вам построить эти точки вручную или с помощью программного обеспечения для 3D-графики.

Ответ:

Точки $A(1; 2; 3)$, $B(2; -1; 1)$ и $C(-1; 3; 2)$ изображаются в прямоугольной системе координат в пространстве путем последовательного откладывания их координат по соответствующим осям и параллельно им.

23.2. Найдите координаты ортогональных проекций точек $A(1; 3; 4)$ и $B(5; -6; 2)$ на плоскость:
а) $Oxy$;
б) $Oxz$;
в) $Oyz$.

Точка $A(1; 3; 4)$
Точка $B(5; -6; 2)$

Координаты ортогональных проекций точек $A$ и $B$ на плоскости:
a) $Oxy$
б) $Oxz$
в) $Oyz$

При ортогональном проецировании точки на плоскость $Oxy$, координата $z$ становится равной нулю, так как эта плоскость определяется условием $z=0$. Координаты $x$ и $y$ остаются неизменными.
Для точки $A(1; 3; 4)$ ее проекция на плоскость $Oxy$ будет $A_{Oxy}(1; 3; 0)$.
Для точки $B(5; -6; 2)$ ее проекция на плоскость $Oxy$ будет $B_{Oxy}(5; -6; 0)$.

При ортогональном проецировании точки на плоскость $Oxz$, координата $y$ становится равной нулю, так как эта плоскость определяется условием $y=0$. Координаты $x$ и $z$ остаются неизменными.
Для точки $A(1; 3; 4)$ ее проекция на плоскость $Oxz$ будет $A_{Oxz}(1; 0; 4)$.
Для точки $B(5; -6; 2)$ ее проекция на плоскость $Oxz$ будет $B_{Oxz}(5; 0; 2)$.

При ортогональном проецировании точки на плоскость $Oyz$, координата $x$ становится равной нулю, так как эта плоскость определяется условием $x=0$. Координаты $y$ и $z$ остаются неизменными.
Для точки $A(1; 3; 4)$ ее проекция на плоскость $Oyz$ будет $A_{Oyz}(0; 3; 4)$.
Для точки $B(5; -6; 2)$ ее проекция на плоскость $Oyz$ будет $B_{Oyz}(0; -6; 2)$.

23.3. Дан единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 23.5). Начало координат находится в точке $D$. Положительные лучи осей координат соответственно $DC$, $DA$ и $DD_1$. Найдите координаты всех вершин куба.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Начало координат находится в точке $D$.
Положительные лучи осей координат: $DC$ (ось $Ox$), $DA$ (ось $Oy$), $DD_1$ (ось $Oz$).

Перевод в СИ

Поскольку дан единичный куб, длина его ребра равна 1 условной единице измерения. Конкретные единицы СИ не требуются, так как задача является геометрической и не связана с физическими величинами.

Найти:

Координаты всех вершин куба: $A$, $B$, $C$, $D$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$.

Решение

Так как куб единичный, длина каждого ребра равна 1. Начало координат находится в точке $D$, а оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ направлены вдоль $DC$, $DA$ и $DD_1$ соответственно.

• Координаты точки $D$: Поскольку точка $D$ является началом координат, ее координаты равны $(0, 0, 0)$.

• Координаты точки $C$: Точка $C$ лежит на положительной оси $Ox$ на расстоянии 1 от $D$. Поэтому ее координаты $(1, 0, 0)$.

• Координаты точки $A$: Точка $A$ лежит на положительной оси $Oy$ на расстоянии 1 от $D$. Поэтому ее координаты $(0, 1, 0)$.

• Координаты точки $B$: Точка $B$ лежит в плоскости $Oxy$. Чтобы попасть в $B$ из $D$, нужно сместиться на 1 по оси $Ox$ и на 1 по оси $Oy$. Поэтому ее координаты $(1, 1, 0)$.

• Координаты точки $D_1$: Точка $D_1$ лежит на положительной оси $Oz$ на расстоянии 1 от $D$. Поэтому ее координаты $(0, 0, 1)$.

• Координаты точки $C_1$: Точка $C_1$ находится над точкой $C$ на высоте 1 (вдоль оси $Oz$). Ее $x$ и $y$ координаты такие же, как у $C$. Поэтому ее координаты $(1, 0, 1)$.

• Координаты точки $A_1$: Точка $A_1$ находится над точкой $A$ на высоте 1 (вдоль оси $Oz$). Ее $x$ и $y$ координаты такие же, как у $A$. Поэтому ее координаты $(0, 1, 1)$.

• Координаты точки $B_1$: Точка $B_1$ находится над точкой $B$ на высоте 1 (вдоль оси $Oz$). Ее $x$ и $y$ координаты такие же, как у $B$. Поэтому ее координаты $(1, 1, 1)$.

Ответ:

$D(0, 0, 0)$
$C(1, 0, 0)$
$A(0, 1, 0)$
$B(1, 1, 0)$
$D_1(0, 0, 1)$
$C_1(1, 0, 1)$
$A_1(0, 1, 1)$
$B_1(1, 1, 1)$

23.4. Найдите координаты середика отрезка:

а) $AB$, если $A(1; 2; 3)$ и $B(-1; 0; 1)$;

б) $CD$, если $C(3; 3; 0)$ и $D(3; -1; 2)$.

a) AB

Дано:

Координаты точки A: $A(x_A; y_A; z_A) = (1; 2; 3)$

Координаты точки B: $B(x_B; y_B; z_B) = (-1; 0; 1)$

Перевод в СИ: Не требуется, так как координаты являются безразмерными величинами.

Найти:

Координаты середины отрезка AB, обозначим их $M_{AB}(x_M; y_M; z_M)$.

Решение:

Координаты середины отрезка находятся по формуле:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

$z_M = \frac{z_1 + z_2}{2}$

Применяем эту формулу для точек A(1; 2; 3) и B(-1; 0; 1):

$x_M = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_M = \frac{2 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$z_M = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: Середина отрезка AB имеет координаты $(0; 1; 2)$.

б) CD

Дано:

Координаты точки C: $C(x_C; y_C; z_C) = (3; 3; 0)$

Координаты точки D: $D(x_D; y_D; z_D) = (3; -1; 2)$

Перевод в СИ: Не требуется, так как координаты являются безразмерными величинами.

Найти:

Координаты середины отрезка CD, обозначим их $M_{CD}(x_M; y_M; z_M)$.

Решение:

Координаты середины отрезка находятся по формуле:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

$z_M = \frac{z_1 + z_2}{2}$

Применяем эту формулу для точек C(3; 3; 0) и D(3; -1; 2):

$x_M = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_M = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$z_M = \frac{0 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: Середина отрезка CD имеет координаты $(3; 1; 1)$.

23.5. Точка А принадлежит отрезку с концами $A_1(1; -2; 3)$, $A_2(-2; 1; 0)$ и делит его в отношении $2:1$, т. е. $\frac{A_1A}{AA_2} = 2$. Найдите координаты точки А.

Дано:

Точка $A_1(1; -2; 3)$

Точка $A_2(-2; 1; 0)$

Отношение, в котором точка $A$ делит отрезок $A_1A_2$: $\frac{A_1A}{AA_2} = 2$, что соответствует $\lambda = 2$.

Найти:

Координаты точки $A(x; y; z)$.

Решение:

Для нахождения координат точки $A(x, y, z)$, которая делит отрезок с концами $A_1(x_1, y_1, z_1)$ и $A_2(x_2, y_2, z_2)$ в заданном отношении $\lambda = \frac{A_1A}{AA_2}$, используются следующие формулы:

$x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$

$y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$

$z = \frac{z_1 + \lambda z_2}{1 + \lambda}$

В нашем случае:

$x_1 = 1$, $y_1 = -2$, $z_1 = 3$

$x_2 = -2$, $y_2 = 1$, $z_2 = 0$

$\lambda = 2$

Подставим эти значения в формулы:

$x_A = \frac{1 + 2 \cdot (-2)}{1 + 2} = \frac{1 - 4}{3} = \frac{-3}{3} = -1$

$y_A = \frac{-2 + 2 \cdot 1}{1 + 2} = \frac{-2 + 2}{3} = \frac{0}{3} = 0$

$z_A = \frac{3 + 2 \cdot 0}{1 + 2} = \frac{3 + 0}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Таким образом, координаты точки $A$ равны $(-1; 0; 1)$.

Ответ:

$A(-1; 0; 1)$

23.6. Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ помещен в прямоугольную систему координат так, что началом координат является центр грани $ABCD$ (рис. 23.6), ребра куба параллельны соответствующим осям координат, вершина A имеет координаты $(-1; 1; 0)$. Найдите координаты всех остальных вершин куба.

Рис. 23.6

Дано:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Начало координат $O(0;0;0)$ является центром грани $ABCD$.
Ребра куба параллельны соответствующим осям координат.
Координаты вершины $A(-1; 1; 0)$.

Перевод в СИ:
Данные представлены в координатном виде, не требующем перевода в систему СИ. Термин "единичный куб" в данном контексте, учитывая координаты вершины $A$, подразумевает длину ребра куба $a=2$ (единицы длины). Это расхождение обычно решается приоритетом явных числовых координат над общим описанием, если они создают геометрическое противоречие при стандартном толковании.

Найти:
Координаты всех остальных вершин куба.

Решение

1.Определение длины ребра куба.
По условию, начало координат $O(0;0;0)$ является центром грани $ABCD$. Ребра куба параллельны осям координат, а вершина $A$ имеет координаты $(-1; 1; 0)$. Так как грань $ABCD$ лежит в плоскости $z=0$ (поскольку ее центр $O$ имеет $z$-координату 0), и ребра параллельны осям, то координаты вершин $ABCD$ будут иметь вид $(\pm x_0, \pm y_0, 0)$. Расстояние от центра квадрата до его вершины равно половине диагонали квадрата. Если сторона квадрата $a$, то половина диагонали равна $a\sqrt{2}/2$. Расстояние от $O(0;0;0)$ до $A(-1; 1; 0)$ равно $ \sqrt{(-1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} $. Приравнивая это расстояние к $a\sqrt{2}/2$, получаем $ a\sqrt{2}/2 = \sqrt{2} $, откуда $a=2$. Таким образом, длина ребра куба составляет $a=2$ единицы.

2.Координаты вершин нижней грани $ABCD$.
Поскольку $O(0;0;0)$ является центром грани $ABCD$, ее ребра параллельны осям, и длина ребра $a=2$, то $x$- и $y$-координаты вершин этой грани будут $\pm \frac{a}{2} = \pm \frac{2}{2} = \pm 1$, а $z$-координата всех вершин этой грани будет $0$.
Задана вершина $A(-1; 1; 0)$. Используя это и учитывая, что $AB$ параллельно оси $X$ и $AD$ параллельно оси $Y$ (согласно рисунку и общей конвенции):

$A$: $(-1; 1; 0)$ (дано)
$B$: Чтобы получить $B$ из $A$, двигаемся вдоль положительного направления оси $X$ на расстояние $a=2$. Координаты $B$ будут $B(-1+2; 1; 0) = (1; 1; 0)$.
$C$: Чтобы получить $C$ из $B$, двигаемся вдоль отрицательного направления оси $Y$ на расстояние $a=2$. Координаты $C$ будут $C(1; 1-2; 0) = (1; -1; 0)$.
$D$: Чтобы получить $D$ из $C$, двигаемся вдоль отрицательного направления оси $X$ на расстояние $a=2$. Координаты $D$ будут $D(1-2; -1; 0) = (-1; -1; 0)$.

3.Координаты вершин верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.
Вершины верхней грани находятся на расстоянии $a=2$ вдоль положительного направления оси $Z$ от соответствующих вершин нижней грани (так как $ABCD$ находится в плоскости $z=0$, а куб расположен "над" ней).

$A_1$: Координаты $A$ с прибавлением $a$ к $z$-координате: $(-1; 1; 0+2) = (-1; 1; 2)$.
$B_1$: Координаты $B$ с прибавлением $a$ к $z$-координате: $(1; 1; 0+2) = (1; 1; 2)$.
$C_1$: Координаты $C$ с прибавлением $a$ к $z$-координате: $(1; -1; 0+2) = (1; -1; 2)$.
$D_1$: Координаты $D$ с прибавлением $a$ к $z$-координате: $(-1; -1; 0+2) = (-1; -1; 2)$.

Ответ:
Координаты остальных вершин куба:
$B(1; 1; 0)$, $C(1; -1; 0)$, $D(-1; -1; 0)$,
$A_1(-1; 1; 2)$, $B_1(1; 1; 2)$, $C_1(1; -1; 2)$, $D_1(-1; -1; 2)$.

23.7. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами

(рис. 23.7). Вершина $D$ — начало координат, отрезки $DC$, $DA$, $DD_2$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Найдите координаты вершин этого многогранника.

Рис. 23.7

Координаты вершин многогранника:

$D = (0,0,0)$

$A = (0,2,0)$

$B = (2,2,0)$

$C = (2,0,0)$

$D_1 = (0,0,1)$

$A_1 = (0,2,1)$

$B_1 = (2,2,1)$

$C_1 = (2,0,1)$

$D_2 = (0,0,2)$

$A_2 = (0,2,2)$

$B_2 = (1,2,2)$

$C_2 = (1,0,2)$

Дано: Многогранник, изображенный на рисунке 23.7. Вершина $D$ является началом координат, отрезки $DC$, $DA$, $DD_2$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Длины отрезков указаны на рисунке.

Найти: Координаты всех вершин многогранника.

Решение:

По условию задачи, вершина $D$ является началом координат, поэтому ее координаты: $D(0, 0, 0)$.

Отрезок $DC$ лежит на оси $Ox$. Длина отрезка $DB$ равна $2$, а длина отрезка $BC$ равна $2$. Следовательно, длина отрезка $DC = DB + BC = 2 + 2 = 4$. Так как точка $C$ лежит на положительной части оси $Ox$, ее координаты: $C(4, 0, 0)$.

Отрезок $DA$ лежит на оси $Oy$. Длина отрезка $DA$ равна $2$ (это следует из того, что $A_2$ находится на расстоянии 2 от оси $Oz$ по оси $Oy$, а $A$ находится на $xy$-плоскости). Так как точка $A$ лежит на положительной части оси $Oy$, ее координаты: $A(0, 2, 0)$.

Отрезок $DD_2$ лежит на оси $Oz$. Длина отрезка $DD_2$ равна $2$. Так как точка $D_2$ лежит на положительной части оси $Oz$, ее координаты: $D_2(0, 0, 2)$.

Найдем координаты остальных вершин, используя эти базовые точки и размеры, указанные на рисунке:

Вершина $B$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $2$ от начала координат $D$. Поэтому ее координаты: $B(2, 0, 0)$.

Вершина $A_1$ лежит в плоскости $z=0$. Ее $x$-координата совпадает с $x$-координатой точки $B$ ($2$), а ее $y$-координата равна $1$ (это видно из положения $D_1$ и $C_2$, где $D_1$ над $A_1$ и от $D_1$ до $B_2$ расстояние 1 по $y$). Поэтому координаты $A_1(2, 1, 0)$.

Вершина $B_1$ лежит в плоскости $z=0$. Ее $x$-координата совпадает с $x$-координатой точки $B$ ($2$), а ее $y$-координата совпадает с $y$-координатой точки $A$ ($2$). Поэтому координаты $B_1(2, 2, 0)$.

Вершина $C_1$ лежит в плоскости $z=0$. Ее $x$-координата совпадает с $x$-координатой точки $C$ ($4$), а ее $y$-координата совпадает с $y$-координатой точки $A$ ($2$). Поэтому координаты $C_1(4, 2, 0)$.

Вершина $D_1$ находится над точкой $A_1$ на высоте $1$. Ее $x$- и $y$-координаты совпадают с $A_1$, а $z$-координата равна $1$. Поэтому координаты $D_1(2, 1, 1)$.

Вершина $B_2$ находится над точкой $B_1$ на высоте $1$. Ее $x$- и $y$-координаты совпадают с $B_1$, а $z$-координата равна $1$. Поэтому координаты $B_2(2, 2, 1)$.

Вершина $C_2$ находится в плоскости $z=1$. Ее $y$-координата совпадает с $y$-координатой точки $D_1$ ($1$). Ее $x$-координата на $1$ больше, чем $x$-координата $D_1$ ($2+1=3$). Поэтому координаты $C_2(3, 1, 1)$.

Вершина $A_2$ находится над точкой $A$ на высоте $2$. Ее $x$- и $y$-координаты совпадают с $A$, а $z$-координата равна $2$. Поэтому координаты $A_2(0, 2, 2)$.

Ответ:

Координаты вершин многогранника:

$D(0, 0, 0)$

$A(0, 2, 0)$

$B(2, 0, 0)$

$C(4, 0, 0)$

$A_1(2, 1, 0)$

$B_1(2, 2, 0)$

$C_1(4, 2, 0)$

$D_1(2, 1, 1)$

$B_2(2, 2, 1)$

$C_2(3, 1, 1)$

$D_2(0, 0, 2)$

$A_2(0, 2, 2)$