Номер 23.7, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23.7. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами

(рис. 23.7). Вершина $D$ — начало координат, отрезки $DC$, $DA$, $DD_2$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Найдите координаты вершин этого многогранника.

Рис. 23.7

Координаты вершин многогранника:

$D = (0,0,0)$

$A = (0,2,0)$

$B = (2,2,0)$

$C = (2,0,0)$

$D_1 = (0,0,1)$

$A_1 = (0,2,1)$

$B_1 = (2,2,1)$

$C_1 = (2,0,1)$

$D_2 = (0,0,2)$

$A_2 = (0,2,2)$

$B_2 = (1,2,2)$

$C_2 = (1,0,2)$

Дано: Многогранник, изображенный на рисунке 23.7. Вершина $D$ является началом координат, отрезки $DC$, $DA$, $DD_2$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Длины отрезков указаны на рисунке.

Найти: Координаты всех вершин многогранника.

Решение:

По условию задачи, вершина $D$ является началом координат, поэтому ее координаты: $D(0, 0, 0)$.

Отрезок $DC$ лежит на оси $Ox$. Длина отрезка $DB$ равна $2$, а длина отрезка $BC$ равна $2$. Следовательно, длина отрезка $DC = DB + BC = 2 + 2 = 4$. Так как точка $C$ лежит на положительной части оси $Ox$, ее координаты: $C(4, 0, 0)$.

Отрезок $DA$ лежит на оси $Oy$. Длина отрезка $DA$ равна $2$ (это следует из того, что $A_2$ находится на расстоянии 2 от оси $Oz$ по оси $Oy$, а $A$ находится на $xy$-плоскости). Так как точка $A$ лежит на положительной части оси $Oy$, ее координаты: $A(0, 2, 0)$.

Отрезок $DD_2$ лежит на оси $Oz$. Длина отрезка $DD_2$ равна $2$. Так как точка $D_2$ лежит на положительной части оси $Oz$, ее координаты: $D_2(0, 0, 2)$.

Найдем координаты остальных вершин, используя эти базовые точки и размеры, указанные на рисунке:

Вершина $B$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $2$ от начала координат $D$. Поэтому ее координаты: $B(2, 0, 0)$.

Вершина $A_1$ лежит в плоскости $z=0$. Ее $x$-координата совпадает с $x$-координатой точки $B$ ($2$), а ее $y$-координата равна $1$ (это видно из положения $D_1$ и $C_2$, где $D_1$ над $A_1$ и от $D_1$ до $B_2$ расстояние 1 по $y$). Поэтому координаты $A_1(2, 1, 0)$.

Вершина $B_1$ лежит в плоскости $z=0$. Ее $x$-координата совпадает с $x$-координатой точки $B$ ($2$), а ее $y$-координата совпадает с $y$-координатой точки $A$ ($2$). Поэтому координаты $B_1(2, 2, 0)$.

Вершина $C_1$ лежит в плоскости $z=0$. Ее $x$-координата совпадает с $x$-координатой точки $C$ ($4$), а ее $y$-координата совпадает с $y$-координатой точки $A$ ($2$). Поэтому координаты $C_1(4, 2, 0)$.

Вершина $D_1$ находится над точкой $A_1$ на высоте $1$. Ее $x$- и $y$-координаты совпадают с $A_1$, а $z$-координата равна $1$. Поэтому координаты $D_1(2, 1, 1)$.

Вершина $B_2$ находится над точкой $B_1$ на высоте $1$. Ее $x$- и $y$-координаты совпадают с $B_1$, а $z$-координата равна $1$. Поэтому координаты $B_2(2, 2, 1)$.

Вершина $C_2$ находится в плоскости $z=1$. Ее $y$-координата совпадает с $y$-координатой точки $D_1$ ($1$). Ее $x$-координата на $1$ больше, чем $x$-координата $D_1$ ($2+1=3$). Поэтому координаты $C_2(3, 1, 1)$.

Вершина $A_2$ находится над точкой $A$ на высоте $2$. Ее $x$- и $y$-координаты совпадают с $A$, а $z$-координата равна $2$. Поэтому координаты $A_2(0, 2, 2)$.

Ответ:

Координаты вершин многогранника:

$D(0, 0, 0)$

$A(0, 2, 0)$

$B(2, 0, 0)$

$C(4, 0, 0)$

$A_1(2, 1, 0)$

$B_1(2, 2, 0)$

$C_1(4, 2, 0)$

$D_1(2, 1, 1)$

$B_2(2, 2, 1)$

$C_2(3, 1, 1)$

$D_2(0, 0, 2)$

$A_2(0, 2, 2)$