Номер 23.10, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23.10. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, точка $O$ — центр основания, точка $G$ — середина ребра $AB$, отрезки $OC$, $OG$, $OS$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно (рис. 23.10). Найдите координаты вершин этой пирамиды.

Рис. 23.10

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ — правильная шестиугольная.

Сторона основания $a = 1$.

Боковые ребра $l = 2$.

Точка $O$ — центр основания.

Точка $G$ — середина ребра $AB$.

Отрезки $OC$, $OG$, $OS$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно.

Перевод в систему СИ:

Данные величины являются безразмерными длинами, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Координаты вершин пирамиды: $A, B, C, D, E, F, S$.

Решение:

1. Установим систему координат.

По условию, точка $O$ является центром основания и началом координат, т.е. $O(0, 0, 0)$.

Отрезок $OS$ лежит на оси $Oz$. Таким образом, координаты вершины $S$ будут $(0, 0, z_S)$, где $z_S$ — высота пирамиды.

Отрезок $OC$ лежит на оси $Ox$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны основания. Поскольку сторона основания $a = 1$, то $OC = 1$. Примем, что $OC$ лежит на положительной полуоси $Ox$. Таким образом, координата вершины $C$ будет $C(1, 0, 0)$.

Используя $C(1, 0, 0)$ и то, что основание является правильным шестиугольником с центром в $O(0,0,0)$ и стороной $a=1$, можем найти координаты остальных вершин основания, двигаясь по 60 градусов от оси $Ox$:

• $C = (1, 0, 0)$
• $D = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $A = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Теперь проверим условие для отрезка $OG$. Точка $G$ — середина ребра $AB$. Найдем ее координаты:

$G = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right)$

$G = \left(\frac{-1/2 + 1/2}{2}, \frac{-\sqrt{3}/2 + (-\sqrt{3}/2)}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(0, \frac{-2\sqrt{3}/2}{2}, 0\right) = \left(0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Таким образом, отрезок $OG$ действительно лежит на оси $Oy$ (на ее отрицательной части), что соответствует условию задачи.

2. Найдем высоту пирамиды ($OS$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOC$. Гипотенуза $SC$ является боковым ребром пирамиды, ее длина $l = 2$. Катет $OC$ — радиус описанной окружности основания, $OC = a = 1$. Катет $OS$ — это высота пирамиды, обозначим ее $h_S$.

По теореме Пифагора:

$OS^2 + OC^2 = SC^2$

$h_S^2 + 1^2 = 2^2$

$h_S^2 + 1 = 4$

$h_S^2 = 3$

$h_S = \sqrt{3}$

Поскольку $OS$ лежит на оси $Oz$, а вершина $S$ находится над центром основания, ее координата по $z$ будет положительной. Следовательно, $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

3. Окончательные координаты вершин.

Вершина $S$: $S(0, 0, \sqrt{3})$

Вершина $A$: $A(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершина $B$: $B(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершина $C$: $C(1, 0, 0)$

Вершина $D$: $D(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Вершина $E$: $E(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Вершина $F$: $F(-1, 0, 0)$

Ответ:

Координаты вершин пирамиды: $A(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $B(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $C(1, 0, 0)$, $D(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $E(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $F(-1, 0, 0)$, $S(0, 0, \sqrt{3})$.