Номер 23.15, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23.15. Какому условию удовлетворяют координаты точек пространства, одинаково удаленные от:

а) двух координатных плоскостей $Oxy$, $Oxz$;

б) всех трех координатных плоскостей?

а) двух координатных плоскостей Oxy, Oxz;

Дано

Точки пространства $P(x,y,z)$ одинаково удалены от координатных плоскостей $Oxy$ и $Oxz$.

Найти:

Условие, которому удовлетворяют координаты точек.

Решение

Расстояние от точки $P(x,y,z)$ до координатной плоскости $Oxy$ (уравнение которой $z=0$) равно $|z|$.

Расстояние от точки $P(x,y,z)$ до координатной плоскости $Oxz$ (уравнение которой $y=0$) равно $|y|$.

Согласно условию задачи, эти расстояния равны:

$|y| = |z|$

Это условие означает, что координата $y$ и координата $z$ должны быть равны по модулю. Оно распадается на два случая: $y=z$ или $y=-z$. Каждое из этих уравнений описывает плоскость в пространстве, проходящую через ось $Ox$ и являющуюся биссекторной плоскостью для двугранных углов, образованных плоскостями $Oxy$ и $Oxz$.

Ответ: $|y| = |z|$ или $y = \pm z$.

б) всех трех координатных плоскостей?

Дано

Точки пространства $P(x,y,z)$ одинаково удалены от всех трех координатных плоскостей $Oxy$, $Oxz$ и $Oyz$.

Найти:

Условие, которому удовлетворяют координаты точек.

Решение

Расстояние от точки $P(x,y,z)$ до координатной плоскости $Oxy$ (задаваемой уравнением $z=0$) равно $|z|$.

Расстояние от точки $P(x,y,z)$ до координатной плоскости $Oxz$ (задаваемой уравнением $y=0$) равно $|y|$.

Расстояние от точки $P(x,y,z)$ до координатной плоскости $Oyz$ (задаваемой уравнением $x=0$) равно $|x|$.

По условию задачи, все три расстояния должны быть равны:

$|x| = |y| = |z|$

Это условие означает, что абсолютные значения всех трех координат ($x$, $y$, и $z$) должны быть одинаковыми. Данное условие описывает совокупность четырех прямых, проходящих через начало координат. Эти прямые являются биссектрисами углов, образованных координатными осями в каждом из октантов, и включают в себя точки, для которых:

1. $x=y=z$

2. $x=y=-z$

3. $x=-y=z$

4. $x=-y=-z$

Ответ: $|x| = |y| = |z|$.