Страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23.12. Найдите расстояние от точки $A(-1; 2; 3)$ до координатной плоскости:

а) $Oxy$;

б) $Oxz$;

в) $Oyz$.

Дано:

Точка $A(-1; 2; 3)$

Найти:

Расстояние от точки $A$ до координатной плоскости:

а) $Oxy$

б) $Oxz$

в) $Oyz$

Решение:

Расстояние от точки до координатной плоскости равно абсолютной величине той координаты точки, которая отсутствует в названии плоскости.

а) Oxy

Координатная плоскость $Oxy$ представляет собой множество точек, у которых $z$-координата равна нулю. Расстояние от точки $A(x_A; y_A; z_A)$ до плоскости $Oxy$ равно $|z_A|$.

Для точки $A(-1; 2; 3)$ имеем $z_A = 3$.

Расстояние $d_{Oxy} = |3| = 3$.

Ответ: $3$

б) Oxz

Координатная плоскость $Oxz$ представляет собой множество точек, у которых $y$-координата равна нулю. Расстояние от точки $A(x_A; y_A; z_A)$ до плоскости $Oxz$ равно $|y_A|$.

Для точки $A(-1; 2; 3)$ имеем $y_A = 2$.

Расстояние $d_{Oxz} = |2| = 2$.

Ответ: $2$

в) Oyz

Координатная плоскость $Oyz$ представляет собой множество точек, у которых $x$-координата равна нулю. Расстояние от точки $A(x_A; y_A; z_A)$ до плоскости $Oyz$ равно $|x_A|$.

Для точки $A(-1; 2; 3)$ имеем $x_A = -1$.

Расстояние $d_{Oyz} = |-1| = 1$.

Ответ: $1$

23.13. Центром $O$ октаэдра является начало координат. Две его вершины имеют координаты $A(0; 1; 0)$ и $B(1; 0; 0)$ (рис. 23.11). Найдите координаты остальных вершин октаэдра.

Рис. 23.11

центр октаэдра $O(0; 0; 0)$

вершины $A(0; 1; 0)$, $B(1; 0; 0)$

координаты остальных вершин октаэдра

октаэдр — это многогранник с 6 вершинами, 12 ребрами и 8 гранями (равносторонние треугольники). правильный октаэдр, центрированный в начале координат, имеет вершины, расположенные на координатных осях. его вершины имеют вид $(\pm k, 0, 0)$, $(0, \pm k, 0)$, $(0, 0, \pm k)$, где $k$ — расстояние от центра до любой вершины.

нам даны две вершины: $A(0; 1; 0)$ и $B(1; 0; 0)$.

из координаты вершины $A(0; 1; 0)$ видно, что она находится на оси $y$ и ее расстояние от начала координат равно $1$. таким образом, $k = 1$.

из координаты вершины $B(1; 0; 0)$ видно, что она находится на оси $x$ и ее расстояние от начала координат также равно $1$. это подтверждает, что $k = 1$.

следовательно, все 6 вершин этого октаэдра расположены на координатных осях $x, y, z$ на расстоянии $1$ от начала координат.

полный список вершин правильного октаэдра с центром в начале координат и $k=1$ включает:

$(1, 0, 0)$, $(-1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$, $(0, -1, 0)$, $(0, 0, 1)$, $(0, 0, -1)$.

из этого списка нам известны $A(0; 1; 0)$ и $B(1; 0; 0)$.

остальные вершины:

вершина, противоположная $A$ на оси $y$: $C(0; -1; 0)$.
вершина, противоположная $B$ на оси $x$: $D(-1; 0; 0)$.
две вершины, расположенные на оси $z$: $E(0; 0; 1)$ и $F(0; 0; -1)$.

координаты остальных вершин октаэдра: $C(0; -1; 0)$, $D(-1; 0; 0)$, $E(0; 0; 1)$, $F(0; 0; -1)$.

23.14. Найдите расстояние от точки $A(x; y; z)$ до координатной плоскости:

а) $Oxy$;

б) $Oxz$;

в) $Oyz$.

Дано: Точка A с координатами $(x; y; z)$. Перевод в систему СИ: Данные представлены в общем виде (символьные координаты), перевод в систему СИ не требуется.

Найти: Расстояние от точки A до координатной плоскости: а) Oxy; б) Oxz; в) Oyz.

Решение:

Расстояние от точки до координатной плоскости равно абсолютной величине координаты точки, перпендикулярной этой плоскости.

а) Oxy Плоскость Oxy определяется уравнением $z=0$. Расстояние от точки A(x; y; z) до плоскости Oxy равно абсолютной величине z-координаты. Расстояние: $d_{Oxy} = |z|$ Ответ: $|z|$

б) Oxz Плоскость Oxz определяется уравнением $y=0$. Расстояние от точки A(x; y; z) до плоскости Oxz равно абсолютной величине y-координаты. Расстояние: $d_{Oxz} = |y|$ Ответ: $|y|$

в) Oyz Плоскость Oyz определяется уравнением $x=0$. Расстояние от точки A(x; y; z) до плоскости Oyz равно абсолютной величине x-координаты. Расстояние: $d_{Oyz} = |x|$ Ответ: $|x|$

23.15. Какому условию удовлетворяют координаты точек пространства, одинаково удаленные от:

а) двух координатных плоскостей $Oxy$, $Oxz$;

б) всех трех координатных плоскостей?

а) двух координатных плоскостей Oxy, Oxz;

Дано

Точки пространства $P(x,y,z)$ одинаково удалены от координатных плоскостей $Oxy$ и $Oxz$.

Найти:

Условие, которому удовлетворяют координаты точек.

Решение

Расстояние от точки $P(x,y,z)$ до координатной плоскости $Oxy$ (уравнение которой $z=0$) равно $|z|$.

Расстояние от точки $P(x,y,z)$ до координатной плоскости $Oxz$ (уравнение которой $y=0$) равно $|y|$.

Согласно условию задачи, эти расстояния равны:

$|y| = |z|$

Это условие означает, что координата $y$ и координата $z$ должны быть равны по модулю. Оно распадается на два случая: $y=z$ или $y=-z$. Каждое из этих уравнений описывает плоскость в пространстве, проходящую через ось $Ox$ и являющуюся биссекторной плоскостью для двугранных углов, образованных плоскостями $Oxy$ и $Oxz$.

Ответ: $|y| = |z|$ или $y = \pm z$.

б) всех трех координатных плоскостей?

Дано

Точки пространства $P(x,y,z)$ одинаково удалены от всех трех координатных плоскостей $Oxy$, $Oxz$ и $Oyz$.

Найти:

Условие, которому удовлетворяют координаты точек.

Решение

Расстояние от точки $P(x,y,z)$ до координатной плоскости $Oxy$ (задаваемой уравнением $z=0$) равно $|z|$.

Расстояние от точки $P(x,y,z)$ до координатной плоскости $Oxz$ (задаваемой уравнением $y=0$) равно $|y|$.

Расстояние от точки $P(x,y,z)$ до координатной плоскости $Oyz$ (задаваемой уравнением $x=0$) равно $|x|$.

По условию задачи, все три расстояния должны быть равны:

$|x| = |y| = |z|$

Это условие означает, что абсолютные значения всех трех координат ($x$, $y$, и $z$) должны быть одинаковыми. Данное условие описывает совокупность четырех прямых, проходящих через начало координат. Эти прямые являются биссектрисами углов, образованных координатными осями в каждом из октантов, и включают в себя точки, для которых:

1. $x=y=z$

2. $x=y=-z$

3. $x=-y=z$

4. $x=-y=-z$

Ответ: $|x| = |y| = |z|$.

23.16. Повторите формулу расстояния между точками на координатной плоскости.

Повторите формулу расстояния между точками на координатной плоскости.

Формула расстояния $d$ между двумя точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на координатной плоскости основана на теореме Пифагора. Она позволяет найти длину отрезка, соединяющего эти две точки.

Ответ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

23.17. По аналогии с формулой расстояния между точками на координатной плоскости попробуйте написать формулу расстояния между точками $A_1(x_1; y_1; z_1)$, $A_2(x_2; y_2; z_2)$ в координатном пространстве.

Дано:

даны две точки в координатном пространстве: $A_1(x_1; y_1; z_1)$ и $A_2(x_2; y_2; z_2)$.

Найти:

формулу расстояния между точками $A_1$ и $A_2$ в координатном пространстве по аналогии с формулой расстояния между точками на координатной плоскости.

Решение:

Формула расстояния между двумя точками $A_1(x_1; y_1)$ и $A_2(x_2; y_2)$ на координатной плоскости (в двумерном пространстве) является следствием теоремы Пифагора и определяется как:

$d_{2D} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

По аналогии, для нахождения расстояния между двумя точками $A_1(x_1; y_1; z_1)$ и $A_2(x_2; y_2; z_2)$ в трехмерном координатном пространстве, мы можем использовать расширенную теорему Пифагора. Представим отрезок $A_1A_2$ как диагональ прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат. Длины ребер этого параллелепипеда будут равны абсолютным значениям разностей соответствующих координат: $|x_2 - x_1|$, $|y_2 - y_1|$ и $|z_2 - z_1|$.

Расстояние $d_{3D}$ между точками $A_1$ и $A_2$ в трехмерном пространстве находится по формуле, которая является обобщением двумерной формулы расстояния:

$d_{3D}^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$d_{3D} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Ответ:

формула расстояния между точками $A_1(x_1; y_1; z_1)$ и $A_2(x_2; y_2; z_2)$ в координатном пространстве:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

странстве.

23.18. Найдите расстояние между точками $O(0; 0; 0)$ и $A(1; 2; 2)$.

Найдите расстояние между точками O(0; 0; 0) и A(1; 2; 2).

Дано:

Точка $O(x_O; y_O; z_O)$, где $x_O = 0$, $y_O = 0$, $z_O = 0$.
Точка $A(x_A; y_A; z_A)$, где $x_A = 1$, $y_A = 2$, $z_A = 2$.

Перевод всех данных в систему СИ:

Все данные представлены в безразмерных единицах координат, не требующих перевода в систему СИ.

Найти:

Расстояние $d_{OA}$ между точками $O$ и $A$.

Решение:

Расстояние между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
Подставим координаты точек $O(0, 0, 0)$ и $A(1, 2, 2)$ в эту формулу:
$d_{OA} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (2 - 0)^2}$
$d_{OA} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}$
$d_{OA} = \sqrt{1 + 4 + 4}$
$d_{OA} = \sqrt{9}$
$d_{OA} = 3$

Ответ: $3$

23.19. По аналогии с уравнением окружности на координатной плоскости попробуйте написать уравнение сферы с центром в точке $A_0(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ в координатном пространстве.

Дано

Центр сферы: $A_0(x_0; y_0; z_0)$
Радиус сферы: $R$

Найти:

Уравнение сферы.

Решение

Уравнение окружности на координатной плоскости с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Это уравнение основано на определении окружности как множества всех точек на плоскости, равноудаленных от фиксированной точки (центра). Расстояние $d$ между любой точкой $P(x; y)$ на окружности и центром $C(x_0; y_0)$ равно радиусу $R$. По формуле расстояния между двумя точками на плоскости: $d = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$. Приравнивая $d$ к $R$ и возводя обе части в квадрат, получаем уравнение окружности.

По аналогии, сфера в координатном пространстве определяется как множество всех точек $P(x; y; z)$, равноудаленных от фиксированной точки $A_0(x_0; y_0; z_0)$ (центра сферы). Это расстояние является радиусом сферы $R$. Формула расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве $P(x; y; z)$ и $A_0(x_0; y_0; z_0)$ выглядит следующим образом: $d = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2}$.

Поскольку каждая точка на поверхности сферы находится на расстоянии $R$ от центра, мы можем приравнять это расстояние к радиусу: $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2} = R$.

Чтобы избавиться от квадратного корня и получить стандартное уравнение сферы, возведем обе части этого уравнения в квадрат: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Ответ:

Уравнение сферы с центром в точке $A_0(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ в координатном пространстве: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

23.20. Напишите уравнение сферы с центром $O(0; 0; 0)$ и радиусом $1$.

Дано:

Центр сферы: $O(0; 0; 0)$

Радиус сферы: $R = 1$

Перевод в СИ:

Данные уже представлены в стандартных единицах, перевод не требуется.

Найти:

Уравнение сферы.

Решение:

Общее уравнение сферы с центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$$

В данном случае центр сферы $O(0; 0; 0)$, что означает $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$.

Радиус сферы $R = 1$.

Подставляем эти значения в общее уравнение сферы:

$$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 1^2$$

Упрощаем выражение:

$$x^2 + y^2 + z^2 = 1$$

Ответ:

Уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.