Страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется координатами вектора?

2. Какие векторы называются координатными векторами?

3. Как выражается длина вектора через его координаты?

4. Как выражается длина вектора через координаты его начала и конца?

5. Как обозначается скалярное произведение векторов?

6. Как определяется скалярное произведение векторов?

7. Что называется скалярным квадратом вектора?

8. Как выражается скалярное произведение векторов через их координаты?

9. Как выражается угол между векторами через их координаты?

1. Что называется координатами вектора?

Координатами вектора $\vec{a}$ в заданной системе координат называются числа, представляющие собой проекции этого вектора на оси координат или коэффициенты разложения вектора по базисным векторам. Например, для вектора $\vec{a}$ в декартовой системе координат с началом в начале координат, его координаты $(a_x, a_y, a_z)$ равны координатам его конца.

Ответ:

2. Какие векторы называются координатными векторами?

Координатными векторами (или орты) называются единичные векторы, направленные вдоль положительных направлений осей прямоугольной декартовой системы координат. В трехмерном пространстве это векторы $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$, $\vec{k}=(0,0,1)$.

Ответ:

3. Как выражается длина вектора через его координаты?

Длина (или модуль) вектора $\vec{a}$ с координатами $(a_x, a_y, a_z)$ выражается как квадратный корень из суммы квадратов его координат:$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

Ответ:

4. Как выражается длина вектора через координаты его начала и конца?

Если вектор $\vec{AB}$ имеет начало в точке $A(x_1, y_1, z_1)$ и конец в точке $B(x_2, y_2, z_2)$, то его координаты равны $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$. Длина вектора $\vec{AB}$ выражается формулой:$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.

Ответ:

5. Как обозначается скалярное произведение векторов?

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (точка) или $(\vec{a}, \vec{b})$ (в скобках через запятую).

Ответ:

6. Как определяется скалярное произведение векторов?

Скалярное произведение двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как произведение их длин на косинус угла $\phi$ между ними:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\phi$.Если хотя бы один из векторов является нулевым, скалярное произведение равно нулю.

Ответ:

7. Что называется скалярным квадратом вектора?

Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение вектора на самого себя.Для вектора $\vec{a}$, скалярный квадрат обозначается как $\vec{a}^2$ и равен квадрату его длины:$\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Ответ:

8. Как выражается скалярное произведение векторов через их координаты?

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе: $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$, то их скалярное произведение выражается как сумма произведений их соответствующих координат:$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Ответ:

9. Как выражается угол между векторами через их координаты?

Угол $\phi$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)$ можно найти, используя формулу для косинуса угла, полученную из определения скалярного произведения:$\cos\phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}$.Тогда сам угол $\phi$ равен:$\phi = \arccos\left(\frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}\right)$.

Ответ:

25.1. Найдите координаты векторов:

а) $\vec{a} = -2\vec{i} + 6\vec{j} + \vec{k}$;

б) $\vec{b} = \vec{i} + 2\vec{k}$;

в) $\vec{c} = -3\vec{j} + \vec{k}$;

г) $\vec{d} = 5\vec{i} - 4\vec{k}$.

Дано:
Векторы в ортонормированном базисе: $\vec{a} = -2\vec{i} + 6\vec{j} + \vec{k}$
$\vec{b} = \vec{i} + 2\vec{k}$
$\vec{c} = -3\vec{j} + \vec{k}$
$\vec{d} = 5\vec{i} - 4\vec{k}$

Найти:
Координаты векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$.

Решение:
Вектор $\vec{v}$ в трехмерном пространстве, выраженный через ортонормированный базис $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ как $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, имеет координаты $(x, y, z)$.

а) Для вектора $\vec{a} = -2\vec{i} + 6\vec{j} + \vec{k}$ коэффициенты при базисных векторах следующие: $x = -2$ (при $\vec{i}$), $y = 6$ (при $\vec{j}$), $z = 1$ (при $\vec{k}$).
Ответ: $\vec{a} = (-2, 6, 1)$

б) Для вектора $\vec{b} = \vec{i} + 2\vec{k}$ отсутствующий член с $\vec{j}$ означает, что его коэффициент равен нулю. Вектор можно записать как $\vec{b} = 1\vec{i} + 0\vec{j} + 2\vec{k}$. Следовательно, коэффициенты: $x = 1$, $y = 0$, $z = 2$.
Ответ: $\vec{b} = (1, 0, 2)$

в) Для вектора $\vec{c} = -3\vec{j} + \vec{k}$ отсутствующий член с $\vec{i}$ означает, что его коэффициент равен нулю. Вектор можно записать как $\vec{c} = 0\vec{i} - 3\vec{j} + 1\vec{k}$. Следовательно, коэффициенты: $x = 0$, $y = -3$, $z = 1$.
Ответ: $\vec{c} = (0, -3, 1)$

г) Для вектора $\vec{d} = 5\vec{i} - 4\vec{k}$ отсутствующий член с $\vec{j}$ означает, что его коэффициент равен нулю. Вектор можно записать как $\vec{d} = 5\vec{i} + 0\vec{j} - 4\vec{k}$. Следовательно, коэффициенты: $x = 5$, $y = 0$, $z = -4$.
Ответ: $\vec{d} = (5, 0, -4)$

25.2. Найдите координаты вектора $\vec{AB}$, если:

а) A(2; -3; 4), B(-5; 2; -6);

б) A(1; 3; -4), B(6; -5; -8);

в) A(-3; 1; -10), B(5; 2; -1).

a)

Дано:

точка $A(2; -3; 4)$

точка $B(-5; 2; -6)$

Найти:

координаты вектора $\vec{AB}$

Решение:

для нахождения координат вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_A; y_A; z_A)$ и концом в точке $B(x_B; y_B; z_B)$ используется формула: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.

вычислим каждую координату:

$x_{\vec{AB}} = x_B - x_A = -5 - 2 = -7$

$y_{\vec{AB}} = y_B - y_A = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$

$z_{\vec{AB}} = z_B - z_A = -6 - 4 = -10$

таким образом, координаты вектора $\vec{AB}$ равны $(-7; 5; -10)$.

Ответ: $\vec{AB}(-7; 5; -10)$

б)

Дано:

точка $A(1; 3; -4)$

точка $B(6; -5; -8)$

Найти:

координаты вектора $\vec{AB}$

Решение:

для нахождения координат вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_A; y_A; z_A)$ и концом в точке $B(x_B; y_B; z_B)$ используется формула: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.

вычислим каждую координату:

$x_{\vec{AB}} = x_B - x_A = 6 - 1 = 5$

$y_{\vec{AB}} = y_B - y_A = -5 - 3 = -8$

$z_{\vec{AB}} = z_B - z_A = -8 - (-4) = -8 + 4 = -4$

таким образом, координаты вектора $\vec{AB}$ равны $(5; -8; -4)$.

Ответ: $\vec{AB}(5; -8; -4)$

в)

Дано:

точка $A(-3; 1; -10)$

точка $B(5; 2; -1)$

Найти:

координаты вектора $\vec{AB}$

Решение:

для нахождения координат вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_A; y_A; z_A)$ и концом в точке $B(x_B; y_B; z_B)$ используется формула: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.

вычислим каждую координату:

$x_{\vec{AB}} = x_B - x_A = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$

$y_{\vec{AB}} = y_B - y_A = 2 - 1 = 1$

$z_{\vec{AB}} = z_B - z_A = -1 - (-10) = -1 + 10 = 9$

таким образом, координаты вектора $\vec{AB}$ равны $(8; 1; 9)$.

Ответ: $\vec{AB}(8; 1; 9)$

25.3. Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(a; b; c)$. Найдите координаты вектора $\vec{BA}$.

Дано:

Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(a; b; c)$.

Найти:

Координаты вектора $\vec{BA}$.

Решение:

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ являются противоположными векторами. Это означает, что они имеют одинаковую длину, но противоположное направление. Для того чтобы найти координаты вектора, противоположного заданному, необходимо умножить каждую координату исходного вектора на $-1$.

Таким образом, если вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(a; b; c)$, то вектор $\vec{BA}$ будет иметь координаты, полученные следующим образом:

$\vec{BA} = -\vec{AB}$

Следовательно, координаты вектора $\vec{BA}$ будут:

$\vec{BA} = (-a; -b; -c)$

Ответ:

Координаты вектора $\vec{BA}$ равны $(-a; -b; -c)$.

25.4. Векторы $\vec{a}_1(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{a}_2(x_2; y_2; z_2)$ коллинеарны. Как связаны между собой их координаты?

Дано: Векторы $\vec{a_1}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{a_2}(x_2; y_2; z_2)$ коллинеарны.

Найти: Как связаны между собой координаты векторов $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$.

Решение: Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое действительное число $k$ (скаляр), что $\vec{a_1} = k \vec{a_2}$. Это определение применимо и в случаях, когда один из векторов является нулевым вектором. Если, например, $\vec{a_1} = \vec{0}$, то для коллинеарности с любым вектором $\vec{a_2}$ (включая $\vec{0}$) достаточно взять $k=0$. Если оба вектора ненулевые, то $k \neq 0$. Распишем это равенство в координатной форме: $(x_1; y_1; z_1) = k (x_2; y_2; z_2)$. Отсюда следует система равенств для каждой координаты: $x_1 = kx_2$, $y_1 = ky_2$, $z_1 = kz_2$. Из этих равенств, если все координаты $x_2$, $y_2$, $z_2$ ненулевые, мы можем выразить $k$ как $k = \frac{x_1}{x_2}$, $k = \frac{y_1}{y_2}$, и $k = \frac{z_1}{z_2}$. Следовательно, для коллинеарных ненулевых векторов их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$. Важно отметить, что если какая-либо из координат $x_2$, $y_2$ или $z_2$ равна нулю, то соответствующая ей координата $x_1$, $y_1$ или $z_1$ также должна быть равна нулю для выполнения условия коллинеарности (при условии, что $k$ конечно и не равен $0/0$ в данном контексте, т.е. когда речь идет о существовании $k$). В случае нулевого вектора, например, если $\vec{a_2} = (0; 0; 0)$, то для коллинеарности $\vec{a_1}$ также должен быть $(0; 0; 0)$.

Ответ: Координаты коллинеарных векторов $\vec{a_1}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{a_2}(x_2; y_2; z_2)$ связаны соотношением, при котором существует такое действительное число $k$, что $x_1 = kx_2$, $y_1 = ky_2$, и $z_1 = kz_2$. Если оба вектора ненулевые, то их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$, с условием, что если какая-либо координата в знаменателе равна нулю, то соответствующая ей координата в числителе также должна быть равна нулю.