Страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26.9. Перпендикулярны ли плоскости:

а) $y + z + 1 = 0$ и $y - z + 1 = 0$;

б) $2x - 5y + z + 4 = 0$ и $3x + 2y + 4z - 1 = 0$;

в) $7x - y + 9 = 0$ и $y + 2z - 3 = 0$?

Дано:
Плоскости заданы общими уравнениями: $A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ и $A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$.

Найти:
Проверить, перпендикулярны ли данные пары плоскостей.

Решение:
Две плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны. Нормальный вектор к плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ имеет координаты $\vec{n} = (A, B, C)$. Два вектора $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0$.

a)

Дано:
Плоскость 1: $y + z + 1 = 0$
Плоскость 2: $y - z + 1 = 0$

Найти:
Проверить, перпендикулярны ли плоскости.

Решение:
Для первой плоскости $y + z + 1 = 0$ (или $0x + 1y + 1z + 1 = 0$) нормальный вектор $\vec{n_1} = (0, 1, 1)$.
Для второй плоскости $y - z + 1 = 0$ (или $0x + 1y - 1z + 1 = 0$) нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$.
Вычислим скалярное произведение нормальных векторов: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(0) + (1)(1) + (1)(-1) = 0 + 1 - 1 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, плоскости перпендикулярны.

Ответ: Плоскости перпендикулярны.

б)

Дано:
Плоскость 1: $2x - 5y + z + 4 = 0$
Плоскость 2: $3x + 2y + 4z - 1 = 0$

Найти:
Проверить, перпендикулярны ли плоскости.

Решение:
Для первой плоскости $2x - 5y + z + 4 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, -5, 1)$.
Для второй плоскости $3x + 2y + 4z - 1 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (3, 2, 4)$.
Вычислим скалярное произведение нормальных векторов: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(3) + (-5)(2) + (1)(4) = 6 - 10 + 4 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, плоскости перпендикулярны.

Ответ: Плоскости перпендикулярны.

в)

Дано:
Плоскость 1: $7x - y + 9 = 0$
Плоскость 2: $y + 2z - 3 = 0$

Найти:
Проверить, перпендикулярны ли плоскости.

Решение:
Для первой плоскости $7x - y + 9 = 0$ (или $7x - 1y + 0z + 9 = 0$) нормальный вектор $\vec{n_1} = (7, -1, 0)$.
Для второй плоскости $y + 2z - 3 = 0$ (или $0x + 1y + 2z - 3 = 0$) нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, 2)$.
Вычислим скалярное произведение нормальных векторов: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (7)(0) + (-1)(1) + (0)(2) = 0 - 1 + 0 = -1$. Так как скалярное произведение не равно нулю, плоскости не перпендикулярны.

Ответ: Плоскости не перпендикулярны.

26.10. Найдите косинус угла между плоскостями, заданными уравнениями:

а) $x + y + z + 1 = 0, x + y - z - 1 = 0;$

б) $2x + 3y + 6z - 5 = 0, 4x + 4y + 2z - 7 = 0.$

a)

Дано

Уравнения плоскостей:
$\Pi_1: x + y + z + 1 = 0$
$\Pi_2: x + y - z - 1 = 0$

Перевод в СИ

Коэффициенты уравнений плоскостей являются безразмерными величинами, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Косинус угла между плоскостями, $\cos \theta$.

Решение

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ имеет координаты $(A, B, C)$. Косинус угла $\theta$ между двумя плоскостями определяется как абсолютное значение косинуса угла между их нормальными векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

где $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$ - скалярное произведение векторов, а $||\vec{n_1}||$ и $||\vec{n_2}||$ - их длины.

1. Определим нормальные векторы для каждой плоскости:
Для плоскости $\Pi_1: x + y + z + 1 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.
Для плоскости $\Pi_2: x + y - z - 1 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, 1, -1)$.

2. Вычислим скалярное произведение нормальных векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(1) + (1)(1) + (1)(-1) = 1 + 1 - 1 = 1$.

3. Вычислим длины (модули) нормальных векторов:
$||\vec{n_1}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
$||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

4. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $1/3$

б)

Дано

Уравнения плоскостей:
$\Pi_1: 2x + 3y + 6z - 5 = 0$
$\Pi_2: 4x + 4y + 2z - 7 = 0$

Перевод в СИ

Коэффициенты уравнений плоскостей являются безразмерными величинами, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Косинус угла между плоскостями, $\cos \theta$.

Решение

Используем ту же формулу, что и в пункте а):

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

1. Определим нормальные векторы для каждой плоскости:
Для плоскости $\Pi_1: 2x + 3y + 6z - 5 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, 3, 6)$.
Для плоскости $\Pi_2: 4x + 4y + 2z - 7 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_2} = (4, 4, 2)$.

2. Вычислим скалярное произведение нормальных векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(4) + (3)(4) + (6)(2) = 8 + 12 + 12 = 32$.

3. Вычислим длины (модули) нормальных векторов:
$||\vec{n_1}|| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$||\vec{n_2}|| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$.

4. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{|32|}{7 \cdot 6} = \frac{32}{42} = \frac{16}{21}$.

Ответ: $16/21$

26.11. Точка $H(-2; 4; -1)$ является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Напишите уравнение этой плоскости.

Дано:

Точка $H(-2; 4; -1)$ является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость.

Начало координат $O(0; 0; 0)$.

Найти:

Уравнение плоскости.

Решение:

Поскольку точка $H(-2; 4; -1)$ является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат $O(0; 0; 0)$ на плоскость, это означает, что вектор $\vec{OH}$ перпендикулярен этой плоскости и, следовательно, является ее нормальным вектором $\vec{n}$.

Найдем координаты вектора $\vec{OH}$ как разность координат точки $H$ и точки $O$:

$\vec{OH} = (H_x - O_x; H_y - O_y; H_z - O_z)$

$\vec{OH} = (-2 - 0; 4 - 0; -1 - 0)$

$\vec{OH} = (-2; 4; -1)$

Таким образом, нормальный вектор плоскости $\vec{n} = (-2; 4; -1)$. Коэффициенты нормального вектора соответствуют $A = -2$, $B = 4$, $C = -1$ в общем уравнении плоскости.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $P_0(x_0; y_0; z_0)$ с нормальным вектором $\vec{n}(A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

В нашем случае, точка $H(-2; 4; -1)$ лежит на плоскости, поэтому ее координаты можно использовать как $(x_0; y_0; z_0)$. Подставим значения $A = -2$, $B = 4$, $C = -1$ и $(x_0; y_0; z_0) = (-2; 4; -1)$ в уравнение:

$-2(x - (-2)) + 4(y - 4) + (-1)(z - (-1)) = 0$

Упростим выражение:

$-2(x + 2) + 4(y - 4) - 1(z + 1) = 0$

Раскроем скобки:

$-2x - 4 + 4y - 16 - z - 1 = 0$

Приведем подобные члены:

$-2x + 4y - z - 21 = 0$

Для удобства и приведения к стандартному виду уравнения плоскости, где первый коэффициент положительный, умножим все уравнение на $-1$:

$2x - 4y + z + 21 = 0$

Ответ:

Уравнение плоскости: $2x - 4y + z + 21 = 0$.

ленне этой плоскости.

26.12. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку

$M(1; 3; -1)$ и параллельной плоскости:

а) $3x + y - z + 5 = 0;$

б) $x - y + 5z - 4 = 0.$

Дано:

Точка $M(1; 3; -1)$

Найти:

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M$ и параллельной заданной плоскости.

Решение

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $(A; B; C)$ — координаты нормального вектора плоскости. Если две плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны, то есть можно принять, что коэффициенты $A, B, C$ для искомой плоскости такие же, как и для данной.

a)

Дано уравнение плоскости: $3x + y - z + 5 = 0$.

Нормальный вектор этой плоскости: $\vec{n} = (3; 1; -1)$.

Поскольку искомая плоскость параллельна данной, её уравнение будет иметь вид $3x + y - z + D = 0$.

Для нахождения значения $D$ подставим координаты точки $M(1; 3; -1)$ в это уравнение:

$3(1) + (3) - (-1) + D = 0$

$3 + 3 + 1 + D = 0$

$7 + D = 0$

$D = -7$

Таким образом, уравнение искомой плоскости:

$3x + y - z - 7 = 0$

Ответ: $3x + y - z - 7 = 0$

б)

Дано уравнение плоскости: $x - y + 5z - 4 = 0$.

Нормальный вектор этой плоскости: $\vec{n} = (1; -1; 5)$.

Поскольку искомая плоскость параллельна данной, её уравнение будет иметь вид $x - y + 5z + D = 0$.

Для нахождения значения $D$ подставим координаты точки $M(1; 3; -1)$ в это уравнение:

$(1) - (3) + 5(-1) + D = 0$

$1 - 3 - 5 + D = 0$

$-7 + D = 0$

$D = 7$

Таким образом, уравнение искомой плоскости:

$x - y + 5z + 7 = 0$

Ответ: $x - y + 5z + 7 = 0$

26.13. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами $(a; 0; 0)$, $(0; b; 0)$, $(0; 0; c)$, где $a, b, c$ отличны от нуля.

Дано

Плоскость проходит через три точки: $P_1 = (a; 0; 0)$, $P_2 = (0; b; 0)$, $P_3 = (0; 0; c)$, где $a, b, c \neq 0$.

Найти

Уравнение плоскости.

Решение

Поскольку данные точки являются точками пересечения плоскости с осями координат, то есть $P_1$ лежит на оси Ox, $P_2$ на оси Oy, и $P_3$ на оси Oz, то уравнение плоскости можно записать в отрезках.

Общий вид уравнения плоскости в отрезках (или "intercept form") выглядит как:

$\frac{x}{A} + \frac{y}{B} + \frac{z}{C} = 1$

где $A$, $B$, $C$ — это координаты точек пересечения плоскости с осями Ox, Oy, Oz соответственно: $(A; 0; 0)$, $(0; B; 0)$, $(0; 0; C)$.

В данном случае, согласно условию задачи, точки пересечения имеют координаты:

• С осью Ox: $(a; 0; 0)$, то есть $A = a$.
• С осью Oy: $(0; b; 0)$, то есть $B = b$.
• С осью Oz: $(0; 0; c)$, то есть $C = c$.

Подставим эти значения в уравнение плоскости в отрезках:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Данное уравнение и является искомым уравнением плоскости.

Ответ

Уравнение плоскости: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

26.14. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, вершина $D$ — начало координат, ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно и $DC = 3$, $DA = 2$, $DD_1 = 1$ (рис. 26.4). Напишите уравнение плоскости $ACD_1$.

Рис. 26.4

Дано

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Вершина $D$ — начало координат.

Ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях $Ox, Oy, Oz$ соответственно.

Длины ребер: $DC = 3$, $DA = 2$, $DD_1 = 1$.

Найти:

Уравнение плоскости $ACD_1$.

Решение

Поскольку вершина $D$ является началом координат $(0,0,0)$, а ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях $Ox, Oy, Oz$ соответственно, мы можем определить координаты вершин $A, C, D_1$:

• Вершина $C$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $DC = 3$ от начала координат. Следовательно, координаты точки $C$ будут $(3,0,0)$.

• Вершина $A$ лежит на оси $Oy$ на расстоянии $DA = 2$ от начала координат. Следовательно, координаты точки $A$ будут $(0,2,0)$.

• Вершина $D_1$ лежит на оси $Oz$ на расстоянии $DD_1 = 1$ от начала координат. Следовательно, координаты точки $D_1$ будут $(0,0,1)$.

Таким образом, мы имеем три точки, через которые проходит плоскость $ACD_1$:

• $A = (0,2,0)$

• $C = (3,0,0)$

• $D_1 = (0,0,1)$

Для нахождения уравнения плоскости $ACD_1$ воспользуемся уравнением плоскости в отрезках на осях. Общий вид такого уравнения: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$, где $a, b, c$ — это отрезки, отсекаемые плоскостью на осях $Ox, Oy, Oz$ соответственно.

Из координат точек $A, C, D_1$ видно, что плоскость $ACD_1$ пересекает оси координат в следующих точках:

• Ось $Ox$ в точке $C(3,0,0)$, значит $a = 3$.

• Ось $Oy$ в точке $A(0,2,0)$, значит $b = 2$.

• Ось $Oz$ в точке $D_1(0,0,1)$, значит $c = 1$.

Подставим эти значения в уравнение плоскости в отрезках:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$

Чтобы преобразовать это уравнение к общему виду $Ax + By + Cz + D = 0$, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 2, 1), которое равно 6:

$6 \cdot \left(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1}\right) = 6 \cdot 1$

$2x + 3y + 6z = 6$

Перенесем свободный член в левую часть:

$2x + 3y + 6z - 6 = 0$

Ответ:

Уравнение плоскости $ACD_1$: $2x + 3y + 6z - 6 = 0$.

26.15. В прямоугольном параллелепипеде $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно и $DC = 3, DA = 2, DD_1 = 1$. Найдите косинус угла между плоскостями:

a) $ABC$ и $ACD_1$;

б) $ADD_1$ и $ACD_1$;

в) $CDD_1$ и $ACD_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Вершина $D$ - начало координат $D(0,0,0)$.

Ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

$DC = 3$

$DA = 2$

$DD_1 = 1$

Перевод в СИ:

Данные величины являются безразмерными длинами сторон параллелепипеда, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

• а) косинус угла между плоскостями $ABC$ и $ACD_1$;
• б) косинус угла между плоскостями $ADD_1$ и $ACD_1$;
• в) косинус угла между плоскостями $CDD_1$ и $ACD_1$.

Решение:

Зададим координаты вершин параллелепипеда, исходя из условия, что $D$ - начало координат, а ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно:

• $D(0,0,0)$
• $C(3,0,0)$ (так как $DC=3$ и лежит на $Ox$)
• $A(0,2,0)$ (так как $DA=2$ и лежит на $Oy$)
• $D_1(0,0,1)$ (так как $DD_1=1$ и лежит на $Oz$)
• $B(3,2,0)$
• $A_1(0,2,1)$
• $C_1(3,0,1)$
• $B_1(3,2,1)$

Для нахождения косинуса угла между двумя плоскостями необходимо найти нормальные векторы этих плоскостей. Если $n_1$ и $n_2$ - нормальные векторы плоскостей, то косинус угла $\theta$ между плоскостями находится по формуле: $\cos \theta = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{|n_1||n_2|}$.

Найдем нормальный вектор плоскости $ACD_1$. Точки плоскости: $A(0,2,0)$, $C(3,0,0)$, $D_1(0,0,1)$.

Векторы, лежащие в плоскости $ACD_1$:

• $\vec{AC} = C - A = (3-0, 0-2, 0-0) = (3, -2, 0)$
• $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, 0-2, 1-0) = (0, -2, 1)$

Нормальный вектор $n_{ACD_1}$ равен векторному произведению $\vec{AC} \times \vec{AD_1}$:

$n_{ACD_1} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} = i((-2)(1) - (0)(-2)) - j((3)(1) - (0)(0)) + k((3)(-2) - (-2)(0))$

$n_{ACD_1} = -2i - 3j - 6k = (-2, -3, -6)$

Модуль нормального вектора $n_{ACD_1}$: $|n_{ACD_1}| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

а) ABC и ACD₁

Плоскость $ABC$ является плоскостью основания параллелепипеда. Поскольку ребра $DA$ и $DC$ лежат на осях $Oy$ и $Ox$ соответственно, плоскость $ABC$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$ (уравнение $z=0$).

Нормальный вектор плоскости $ABC$ (обозначим $n_{ABC}$) перпендикулярен плоскости $Oxy$, поэтому его можно взять как $n_{ABC} = (0, 0, 1)$. Модуль $|n_{ABC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.

Нормальный вектор плоскости $ACD_1$ равен $n_{ACD_1} = (-2, -3, -6)$. Модуль $|n_{ACD_1}| = 7$.

Скалярное произведение нормальных векторов: $n_{ABC} \cdot n_{ACD_1} = (0)(-2) + (0)(-3) + (1)(-6) = -6$.

Косинус угла между плоскостями $ABC$ и $ACD_1$:

$\cos \theta_a = \frac{|n_{ABC} \cdot n_{ACD_1}|}{|n_{ABC}||n_{ACD_1}|} = \frac{|-6|}{1 \cdot 7} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$

б) ADD₁ и ACD₁

Плоскость $ADD_1$ является боковой гранью параллелепипеда. Поскольку ребра $DA$ и $DD_1$ лежат на осях $Oy$ и $Oz$ соответственно, плоскость $ADD_1$ совпадает с координатной плоскостью $Oyz$ (уравнение $x=0$).

Нормальный вектор плоскости $ADD_1$ (обозначим $n_{ADD_1}$) перпендикулярен плоскости $Oyz$, поэтому его можно взять как $n_{ADD_1} = (1, 0, 0)$. Модуль $|n_{ADD_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.

Нормальный вектор плоскости $ACD_1$ равен $n_{ACD_1} = (-2, -3, -6)$. Модуль $|n_{ACD_1}| = 7$.

Скалярное произведение нормальных векторов: $n_{ADD_1} \cdot n_{ACD_1} = (1)(-2) + (0)(-3) + (0)(-6) = -2$.

Косинус угла между плоскостями $ADD_1$ и $ACD_1$:

$\cos \theta_b = \frac{|n_{ADD_1} \cdot n_{ACD_1}|}{|n_{ADD_1}||n_{ACD_1}|} = \frac{|-2|}{1 \cdot 7} = \frac{2}{7}$

Ответ: $\frac{2}{7}$

в) CDD₁ и ACD₁

Плоскость $CDD_1$ является боковой гранью параллелепипеда. Поскольку ребра $DC$ и $DD_1$ лежат на осях $Ox$ и $Oz$ соответственно, плоскость $CDD_1$ совпадает с координатной плоскостью $Oxz$ (уравнение $y=0$).

Нормальный вектор плоскости $CDD_1$ (обозначим $n_{CDD_1}$) перпендикулярен плоскости $Oxz$, поэтому его можно взять как $n_{CDD_1} = (0, 1, 0)$. Модуль $|n_{CDD_1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Нормальный вектор плоскости $ACD_1$ равен $n_{ACD_1} = (-2, -3, -6)$. Модуль $|n_{ACD_1}| = 7$.

Скалярное произведение нормальных векторов: $n_{CDD_1} \cdot n_{ACD_1} = (0)(-2) + (1)(-3) + (0)(-6) = -3$.

Косинус угла между плоскостями $CDD_1$ и $ACD_1$:

$\cos \theta_c = \frac{|n_{CDD_1} \cdot n_{ACD_1}|}{|n_{CDD_1}||n_{ACD_1}|} = \frac{|-3|}{1 \cdot 7} = \frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}$

26.16. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy$ и $Oz$ соответственно. Найдите угол между плоскостями:

а) $ABC_1$ и $BCD_1$;

б) $ABC_1$ и $BDA_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Вершина $D$ — начало координат $(0,0,0)$.

Ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно.

Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица измерения не указана, предполагается безразмерная единица).

Найти:

а) Угол между плоскостями $ABC_1$ и $BCD_1$.

б) Угол между плоскостями $ABC_1$ и $BDA_1$.

Решение:

Определим координаты вершин куба, исходя из условия, что $D$ - начало координат, а ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях $Ox, Oy, Oz$ соответственно, и длина ребра куба равна 1:

$D=(0,0,0)$

$C=(1,0,0)$

$A=(0,1,0)$

$D_1=(0,0,1)$

$B=(1,1,0)$

$C_1=(1,0,1)$

$A_1=(0,1,1)$

$B_1=(1,1,1)$

Для нахождения угла между плоскостями воспользуемся их нормальными векторами. Если $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ - нормальные векторы двух плоскостей, то косинус угла $\theta$ между этими плоскостями определяется по формуле: $ \cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} $. Нормальный вектор плоскости, проходящей через три точки, можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости.

а) ABC₁ и BCD₁

Найдем нормальный вектор плоскости $ABC_1$:

Точки плоскости: $A(0,1,0)$, $B(1,1,0)$, $C_1(1,0,1)$.

Векторы в плоскости:

$ \vec{AB} = B - A = (1-0, 1-1, 0-0) = (1,0,0) $

$ \vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 0-1, 1-0) = (1,-1,1) $

Нормальный вектор $\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AC_1}$:

$ \vec{n_1} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = i(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - j(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + k(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) = 0i - 1j - 1k = (0,-1,-1) $

Для удобства вычислений возьмем $\vec{n_1} = (0,1,1)$.

Найдем нормальный вектор плоскости $BCD_1$:

Точки плоскости: $B(1,1,0)$, $C(1,0,0)$, $D_1(0,0,1)$.

Векторы в плоскости:

$ \vec{BC} = C - B = (1-1, 0-1, 0-0) = (0,-1,0) $

$ \vec{BD_1} = D_1 - B = (0-1, 0-1, 1-0) = (-1,-1,1) $

Нормальный вектор $\vec{n_2} = \vec{BC} \times \vec{BD_1}$:

$ \vec{n_2} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = i(-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - j(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + k(0 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-1)) = -1i - 0j - 1k = (-1,0,-1) $

Для удобства вычислений возьмем $\vec{n_2} = (1,0,1)$.

Вычислим угол $\theta$ между плоскостями, используя нормальные векторы $\vec{n_1} = (0,1,1)$ и $\vec{n_2} = (1,0,1)$:

Скалярное произведение: $ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (1)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1 $

Модули векторов:

$ |\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2} $

$ |\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2} $

Косинус угла:

$ \cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} $

Следовательно, $ \theta = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ $.

Ответ:$60^\circ$

б) ABC₁ и BDA₁

Нормальный вектор плоскости $ABC_1$ уже найден: $\vec{n_1} = (0,1,1)$.

Найдем нормальный вектор плоскости $BDA_1$:

Точки плоскости: $B(1,1,0)$, $D(0,0,0)$, $A_1(0,1,1)$.

Векторы в плоскости:

$ \vec{DB} = B - D = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0) $

$ \vec{DA_1} = A_1 - D = (0-0, 1-0, 1-0) = (0,1,1) $

Нормальный вектор $\vec{n_3} = \vec{DB} \times \vec{DA_1}$:

$ \vec{n_3} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = i(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - j(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + k(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 1i - 1j + 1k = (1,-1,1) $

Вычислим угол $\theta$ между плоскостями, используя нормальные векторы $\vec{n_1} = (0,1,1)$ и $\vec{n_3} = (1,-1,1)$:

Скалярное произведение: $ \vec{n_1} \cdot \vec{n_3} = (0)(1) + (1)(-1) + (1)(1) = 0 - 1 + 1 = 0 $

Модули векторов:

$ |\vec{n_1}| = \sqrt{2} $ (уже вычислено)

$ |\vec{n_3}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3} $

Косинус угла:

$ \cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_3}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_3}|} = \frac{|0|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = 0 $

Следовательно, $ \theta = \arccos(0) = 90^\circ $.

Ответ:$90^\circ$

26.17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1. Вершина $E$ — начало координат, отрезки $ED, EA, EE_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно (рис. 26.5). Найдите косинус угла между плоскостями $BDD_1$ и $AFE_1$.

Рис. 26.5

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны $1$.
Вершина $E$ является началом координат.
Отрезки $ED$, $EA$, $EE_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

Найти:
Косинус угла между плоскостями $BDD_1$ и $AFE_1$.

Решение:
Поскольку призма является правильной шестиугольной, ее основания — правильные шестиугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Все ребра равны $1$, что означает, что длина стороны основания $s=1$ и высота призмы $h=1$.
Вершина $E$ является началом координат: $E=(0,0,0)$.
Отрезок $EE_1$ лежит на оси $Oz$. Поскольку $EE_1$ является ребром, его длина $1$. Следовательно, $E_1=(0,0,1)$.
Отрезок $ED$ лежит на оси $Ox$. Поскольку $ED$ является ребром основания, его длина $1$. Следовательно, $D=(1,0,0)$.
Отрезок $EA$ лежит на оси $Oy$. Вершины шестиугольника $A,B,C,D,E,F$ перечислены последовательно. $E$ - это вершина. $D$ и $F$ - смежные вершины к $E$. $A$ - это вершина, которая получается, если от $E$ пройти через $F$. То есть $E-F-A$. Таким образом, отрезок $EA$ является короткой диагональю правильного шестиугольника. Длина короткой диагонали шестиугольника со стороной $s$ равна $s\sqrt{3}$. В нашем случае $s=1$, поэтому $EA=\sqrt{3}$.
Так как $EA$ лежит на оси $Oy$, то $A=(0,\sqrt{3},0)$.
Таким образом, определены координаты ключевых вершин:
$E=(0,0,0)$
$D=(1,0,0)$
$A=(0,\sqrt{3},0)$
$E_1=(0,0,1)$
Для нахождения косинуса угла между плоскостями $BDD_1$ и $AFE_1$, нам нужны нормальные векторы этих плоскостей. Для этого необходимо определить координаты всех вершин, участвующих в определении плоскостей.
Найдем координаты вершины $F$. Вершина $F$ является смежной к $E$ и $A$.
Учитывая, что $EF=1$ и $AF=1$, а $E=(0,0,0)$ и $A=(0,\sqrt{3},0)$, пусть $F=(x_F, y_F, 0)$.
$EF^2 = x_F^2 + y_F^2 = 1^2 = 1$.
$AF^2 = (x_F-0)^2 + (y_F-\sqrt{3})^2 = 1^2 = 1$.
Подставим $x_F^2+y_F^2=1$ во второе уравнение:
$1 + y_F^2 - 2\sqrt{3}y_F + 3 = 1$
$y_F^2 - 2\sqrt{3}y_F + 3 = 0$
Это квадратное уравнение для $y_F$. Но есть более простой путь: $x_F^2+(y_F-\sqrt{3})^2=1 \Rightarrow x_F^2+y_F^2-2\sqrt{3}y_F+3=1$.
Так как $x_F^2+y_F^2=1$, то $1-2\sqrt{3}y_F+3=1 \Rightarrow 4-2\sqrt{3}y_F=1 \Rightarrow 2\sqrt{3}y_F=3 \Rightarrow y_F=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь найдем $x_F$: $x_F^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 \Rightarrow x_F^2 + \frac{3}{4} = 1 \Rightarrow x_F^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x_F = \pm \frac{1}{2}$.
Ориентация шестиугольника $A,B,C,D,E,F$ обычно предполагается против часовой стрелки. $E=(0,0,0)$, $D=(1,0,0)$. Чтобы $F$ был вторым смежным ребром (т.е. $\angle DEF = 120^\circ$), то $F$ должен иметь отрицательную $x$-координату.
Проверим: $E=(0,0,0)$, $D=(1,0,0)$. Тогда $F$ как $(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Это соответствует $x_F=-1/2$ и $y_F=\sqrt{3}/2$.
Таким образом, $F=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
Найдем координаты вершины $B$. Вершина $B$ смежна с $A$ и $C$.
Чтобы найти $B$, мы можем использовать центр шестиугольника.
Пусть центр шестиугольника $O_h=(x_c, y_c, 0)$. $O_h$ равноудален от всех вершин на расстояние $s=1$.
$O_h E^2 = x_c^2 + y_c^2 = 1$.
$O_h A^2 = x_c^2 + (y_c-\sqrt{3})^2 = 1$.
Из первого уравнения $x_c^2=1-y_c^2$. Подставим во второе:
$1-y_c^2 + (y_c-\sqrt{3})^2 = 1$
$1-y_c^2 + y_c^2 - 2\sqrt{3}y_c + 3 = 1$
$4 - 2\sqrt{3}y_c = 1 \Rightarrow 2\sqrt{3}y_c = 3 \Rightarrow y_c = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Тогда $x_c^2 = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow x_c = \pm \frac{1}{2}$.
Ориентация $D=(1,0,0)$, $E=(0,0,0)$, $A=(0,\sqrt{3},0)$ и $F=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ указывает, что центр шестиугольника находится в первом квадранте (или близко к нему).
Выберем $x_c=1/2$.
Итак, центр основания $O_h=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
Для нахождения $B$:
Вектор $\vec{O_h A} = A - O_h = (0-1/2, \sqrt{3}-\sqrt{3}/2, 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
Вектор $\vec{O_h B}$ получается из $\vec{O_h A}$ поворотом на $60^\circ$ против часовой стрелки (порядок $A,B,C,D,E,F$).
Матрица поворота на $60^\circ$: $R_{60} = \begin{pmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}$.
$\vec{O_h B} = R_{60} \cdot \vec{O_h A} = \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/2 \\ \sqrt{3}/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1/2)(-1/2) - (\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}/2) \\ (\sqrt{3}/2)(-1/2) + (1/2)(\sqrt{3}/2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/4 - 3/4 \\ -\sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
$B = O_h + \vec{O_h B} = (1/2, \sqrt{3}/2, 0) + (-1, 0, 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
Координаты вершин, необходимых для вычислений:
$A=(0,\sqrt{3},0)$
$B=(-1/2,\sqrt{3}/2,0)$
$D=(1,0,0)$
$D_1=(1,0,1)$ (так как $DD_1$ является боковым ребром, $D_1=D+(0,0,1)$)
$E_1=(0,0,1)$
$F=(-1/2,\sqrt{3}/2,0)$
Заметим, что координаты $B$ и $F$ получились одинаковыми. Это означает, что $A,B,C,D,E,F$ не образуют правильный шестиугольник в данной системе координат. Однако, поскольку в условии задачи сказано "правильной шестиугольной призме", это может означать, что ребра равны, а углы между ними соответствуют ориентации по осям. Возможно, имеется в виду, что $E,D,A$ находятся на осях, а остальные точки достроены, но такой подход приводит к геометрическим противоречиям (например, $B=F$).
Часто в таких задачах подразумевается, что данные, описывающие положение вершин на осях, имеют приоритет над стандартными углами многоугольника, но сохраняют его симметрию и длины сторон. Если $B=F$, то это не шестиугольник.
Повторно проверяем интерпретацию: "отрезки ED, EA, EE1 лежат на осях координат Ox, Oy, Oz соответственно".
Это означает, что $E=(0,0,0)$, $D=(x_D,0,0)$, $A=(0,y_A,0)$, $E_1=(0,0,z_{E_1})$.
"все ребра равны 1".
Значит, $EE_1=1 \implies z_{E_1}=1$. $E_1=(0,0,1)$.
$ED=1 \implies x_D=1$. $D=(1,0,0)$.
$EA$ - это длина отрезка от $E$ до $A$. Если $A$ - это вершина регулярного шестиугольника, то $EA$ может быть ребром (длина 1), короткой диагональю (длина $\sqrt{3}$), или длинной диагональю (длина 2).
Порядок вершин $A,B,C,D,E,F$.
Относительно вершины $E$: $D$ - сосед (ребро), $F$ - сосед (ребро).
$A$ - это $F$'s сосед (ребро $AF=1$).
Следовательно, отрезок $EA$ является короткой диагональю (длина $s\sqrt{3}=\sqrt{3}$).
Таким образом, $A=(0,\sqrt{3},0)$ является наиболее логичной интерпретацией.
Полученные координаты $F=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $B=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ показывают, что $B=F$. Это указывает на то, что сама формулировка задачи (координатная привязка) входит в противоречие с определением "правильного шестиугольника".
В случае подобных задач в учебниках, часто подразумевается, что заданное расположение на осях *определяет* эти точки, а уже исходя из них, строятся остальные по правилам шестиугольника.
Единственный способ решить эту задачу без противоречий, это принять, что $ED$, $EA$ и $EE_1$ являются взаимоперпендикулярными отрезками, а длина ребра шестиугольника равна 1. А также, что $EA$ - это *короткая* диагональ.
Тогда $F=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $A=(0,\sqrt{3},0)$ (сохраняет $AF=1$).
И $B$ не будет совпадать с $F$.
Проблема возникла из-за того, что $\vec{O_h B}$ оказался $(-1,0)$.
Пересчитаем $B$ относительно $A$: $B$ является соседней с $A$, $AB=1$.
Центр $O_h=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
$\vec{O_h A}=(-1/2, \sqrt{3}/2)$. $\vec{O_h F}=(-1,0)$. $\vec{O_h E}=(-1/2, -\sqrt{3}/2)$. $\vec{O_h D}=(1/2, -\sqrt{3}/2)$.
Порядок $A,B,C,D,E,F$ (против часовой стрелки):
$A=(0,\sqrt{3},0)$.
$F=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
$E=(0,0,0)$.
$D=(1,0,0)$.
Следующая после $D$ по часовой стрелке - $C$. Следующая после $E$ по часовой стрелке - $D$.
Тогда $\vec{O_h C}$ - это $\vec{O_h D}$ повернутый на $60^\circ$ против часовой стрелки.
$\vec{O_h D}=(1/2, -\sqrt{3}/2)$.
$\vec{O_h C} = R_{60} \cdot (1/2, -\sqrt{3}/2) = (1/2 \cdot 1/2 - (-\sqrt{3}/2)\sqrt{3}/2, \sqrt{3}/2 \cdot 1/2 + 1/2 \cdot (-\sqrt{3}/2)) = (1/4+3/4, \sqrt{3}/4-\sqrt{3}/4) = (1,0)$.
$C = O_h + \vec{O_h C} = (1/2, \sqrt{3}/2, 0) + (1,0,0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
$\vec{O_h B}$ - это $\vec{O_h C}$ повернутый на $60^\circ$ против часовой стрелки.
$\vec{O_h B} = R_{60} \cdot (1,0) = (1/2, \sqrt{3}/2)$.
$B = O_h + \vec{O_h B} = (1/2, \sqrt{3}/2, 0) + (1/2, \sqrt{3}/2, 0) = (1, \sqrt{3}, 0)$.
Итак, перепроверенные координаты:
$A=(0,\sqrt{3},0)$
$B=(1,\sqrt{3},0)$
$C=(3/2,\sqrt{3}/2,0)$
$D=(1,0,0)$
$E=(0,0,0)$
$F=(-1/2,\sqrt{3}/2,0)$
Эти координаты образуют правильный шестиугольник со стороной 1. $B$ и $F$ не совпадают. Данная система координат (с E на (0,0,0), D на (1,0,0), A на (0, sqrt(3), 0)) корректна и непротиворечива для правильного шестиугольника. Угол между $ED$ и $EA$ составляет $90^\circ$, хотя в правильном шестиугольнике угол между ребром и короткой диагональю составляет $30^\circ$. Это означает, что оси координат не "естественно" выровнены по углам шестиугольника, а являются просто заданным каркасом, к которому привязаны точки $D$ и $A$.
Вершины верхнего основания $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ получены смещением соответствующих вершин нижнего основания на $1$ по оси $Oz$.
$A_1=(0,\sqrt{3},1)$
$B_1=(1,\sqrt{3},1)$
$C_1=(3/2,\sqrt{3}/2,1)$
$D_1=(1,0,1)$
$E_1=(0,0,1)$
$F_1=(-1/2,\sqrt{3}/2,1)$
Расчет нормального вектора для плоскости $BDD_1$:
Точки: $B=(1,\sqrt{3},0)$, $D=(1,0,0)$, $D_1=(1,0,1)$.
Вектор $\vec{DB} = B-D = (1-1, \sqrt{3}-0, 0-0) = (0, \sqrt{3}, 0)$.
Вектор $\vec{DD_1} = D_1-D = (1-1, 0-0, 1-0) = (0,0,1)$.
Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $BDD_1$ равен векторному произведению $\vec{DB} \times \vec{DD_1}$:
$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (\sqrt{3}\cdot 1 - 0\cdot 0)\mathbf{i} - (0\cdot 1 - 0\cdot 0)\mathbf{j} + (0\cdot 0 - \sqrt{3}\cdot 0)\mathbf{k} = (\sqrt{3}, 0, 0)$.
Для удобства можно взять $\vec{n_1}=(1,0,0)$. (Плоскость $x=1$).
Расчет нормального вектора для плоскости $AFE_1$:
Точки: $A=(0,\sqrt{3},0)$, $F=(-1/2,\sqrt{3}/2,0)$, $E_1=(0,0,1)$.
Вектор $\vec{AF} = F-A = (-1/2-0, \sqrt{3}/2-\sqrt{3}, 0-0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.
Вектор $\vec{AE_1} = E_1-A = (0-0, 0-\sqrt{3}, 1-0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$.
Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $AFE_1$ равен векторному произведению $\vec{AF} \times \vec{AE_1}$:
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = ((-\sqrt{3}/2)\cdot 1 - 0\cdot (-\sqrt{3}))\mathbf{i} - ((-1/2)\cdot 1 - 0\cdot 0)\mathbf{j} + ((-1/2)\cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}/2)\cdot 0)\mathbf{k}$
$\vec{n_2} = (-\sqrt{3}/2, 1/2, \sqrt{3}/2)$.
Для удобства можно умножить на 2: $\vec{n_2}=(-\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$.
Вычисление косинуса угла между плоскостями:
Косинус угла $\theta$ между двумя плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами:
$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$.
$\vec{n_1}=(1,0,0)$
$\vec{n_2}=(-\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$
Скалярное произведение:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(-\sqrt{3}) + (0)(1) + (0)(\sqrt{3}) = -\sqrt{3}$.
Модули векторов:
$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2+0^2+0^2} = \sqrt{1} = 1$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3+1+3} = \sqrt{7}$.
Косинус угла:
$\cos \theta = \frac{|-\sqrt{3}|}{1 \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.
Для рационализации знаменателя: $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}\sqrt{7}}{\sqrt{7}\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$