Номер 26.16, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26.16. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy$ и $Oz$ соответственно. Найдите угол между плоскостями:

а) $ABC_1$ и $BCD_1$;

б) $ABC_1$ и $BDA_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Вершина $D$ — начало координат $(0,0,0)$.

Ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно.

Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица измерения не указана, предполагается безразмерная единица).

Найти:

а) Угол между плоскостями $ABC_1$ и $BCD_1$.

б) Угол между плоскостями $ABC_1$ и $BDA_1$.

Решение:

Определим координаты вершин куба, исходя из условия, что $D$ - начало координат, а ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях $Ox, Oy, Oz$ соответственно, и длина ребра куба равна 1:

$D=(0,0,0)$

$C=(1,0,0)$

$A=(0,1,0)$

$D_1=(0,0,1)$

$B=(1,1,0)$

$C_1=(1,0,1)$

$A_1=(0,1,1)$

$B_1=(1,1,1)$

Для нахождения угла между плоскостями воспользуемся их нормальными векторами. Если $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ - нормальные векторы двух плоскостей, то косинус угла $\theta$ между этими плоскостями определяется по формуле: $ \cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} $. Нормальный вектор плоскости, проходящей через три точки, можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости.

а) ABC₁ и BCD₁

Найдем нормальный вектор плоскости $ABC_1$:

Точки плоскости: $A(0,1,0)$, $B(1,1,0)$, $C_1(1,0,1)$.

Векторы в плоскости:

$ \vec{AB} = B - A = (1-0, 1-1, 0-0) = (1,0,0) $

$ \vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 0-1, 1-0) = (1,-1,1) $

Нормальный вектор $\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AC_1}$:

$ \vec{n_1} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = i(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - j(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + k(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) = 0i - 1j - 1k = (0,-1,-1) $

Для удобства вычислений возьмем $\vec{n_1} = (0,1,1)$.

Найдем нормальный вектор плоскости $BCD_1$:

Точки плоскости: $B(1,1,0)$, $C(1,0,0)$, $D_1(0,0,1)$.

Векторы в плоскости:

$ \vec{BC} = C - B = (1-1, 0-1, 0-0) = (0,-1,0) $

$ \vec{BD_1} = D_1 - B = (0-1, 0-1, 1-0) = (-1,-1,1) $

Нормальный вектор $\vec{n_2} = \vec{BC} \times \vec{BD_1}$:

$ \vec{n_2} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = i(-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - j(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + k(0 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-1)) = -1i - 0j - 1k = (-1,0,-1) $

Для удобства вычислений возьмем $\vec{n_2} = (1,0,1)$.

Вычислим угол $\theta$ между плоскостями, используя нормальные векторы $\vec{n_1} = (0,1,1)$ и $\vec{n_2} = (1,0,1)$:

Скалярное произведение: $ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (1)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1 $

Модули векторов:

$ |\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2} $

$ |\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2} $

Косинус угла:

$ \cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} $

Следовательно, $ \theta = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ $.

Ответ:$60^\circ$

б) ABC₁ и BDA₁

Нормальный вектор плоскости $ABC_1$ уже найден: $\vec{n_1} = (0,1,1)$.

Найдем нормальный вектор плоскости $BDA_1$:

Точки плоскости: $B(1,1,0)$, $D(0,0,0)$, $A_1(0,1,1)$.

Векторы в плоскости:

$ \vec{DB} = B - D = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0) $

$ \vec{DA_1} = A_1 - D = (0-0, 1-0, 1-0) = (0,1,1) $

Нормальный вектор $\vec{n_3} = \vec{DB} \times \vec{DA_1}$:

$ \vec{n_3} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = i(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - j(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + k(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 1i - 1j + 1k = (1,-1,1) $

Вычислим угол $\theta$ между плоскостями, используя нормальные векторы $\vec{n_1} = (0,1,1)$ и $\vec{n_3} = (1,-1,1)$:

Скалярное произведение: $ \vec{n_1} \cdot \vec{n_3} = (0)(1) + (1)(-1) + (1)(1) = 0 - 1 + 1 = 0 $

Модули векторов:

$ |\vec{n_1}| = \sqrt{2} $ (уже вычислено)

$ |\vec{n_3}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3} $

Косинус угла:

$ \cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_3}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_3}|} = \frac{|0|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = 0 $

Следовательно, $ \theta = \arccos(0) = 90^\circ $.

Ответ:$90^\circ$