Номер 26.23, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26.23. Повторите параметрические уравнения прямой на координатной плоскости.

Повторите параметрические уравнения прямой на координатной плоскости

Прямая на координатной плоскости может быть задана различными способами. Одним из таких способов является задание прямой с помощью параметрических уравнений. Это особенно удобно, когда требуется описать движение точки вдоль прямой или если прямая не является ни горизонтальной, ни вертикальной.

Для того чтобы задать прямую на координатной плоскости параметрически, необходимо знать:

1. Координаты одной точки, принадлежащей этой прямой. Пусть это будет точка $P_0$ с координатами $(x_0, y_0)$.

2. Координаты направляющего вектора этой прямой. Направляющий вектор — это любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой. Пусть это будет вектор $\vec{v}$ с координатами $(a, b)$.

Тогда любая произвольная точка $P(x, y)$, лежащая на этой прямой, может быть представлена как сумма радиус-вектора точки $P_0$ и вектора, коллинеарного направляющему вектору $\vec{v}$.

Вектор $\vec{P_0P}$ имеет координаты $(x - x_0, y - y_0)$. Так как точки $P_0$ и $P$ лежат на прямой, то вектор $\vec{P_0P}$ коллинеарен направляющему вектору $\vec{v}$. Это означает, что существует такое скалярное число $t$ (параметр), что $\vec{P_0P} = t \vec{v}$.

Записывая это в координатной форме, получаем:

$x - x_0 = ta$

$y - y_0 = tb$

Из этих уравнений выразим $x$ и $y$:

$x = x_0 + at$

$y = y_0 + bt$

Это и есть параметрические уравнения прямой на координатной плоскости.

Здесь:

* $(x, y)$ — текущие координаты любой точки на прямой.

* $(x_0, y_0)$ — координаты известной точки, через которую проходит прямая.

* $(a, b)$ — координаты направляющего вектора прямой.

* $t$ — параметр, который может принимать любые действительные значения ($t \in \mathbb{R}$). Каждому значению параметра $t$ соответствует единственная точка на прямой.

Ответ: Параметрические уравнения прямой на координатной плоскости, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ и имеющей направляющий вектор $(a, b)$, задаются системой: $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, где $t \in \mathbb{R}$.