Вопросы, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Как можно задавать прямую в пространстве?

2. Какой вектор называется направляющим вектором прямой?

3. Какие уравнения прямой называются параметрическими?

1. Как можно задавать прямую в пространстве?

Прямую в пространстве можно задать следующими способами:

1.Векторное уравнение прямой: Прямая однозначно определяется заданной точкой $M_0(x_0, y_0, z_0)$ через которую она проходит, и заданным ненулевым направляющим вектором $\vec{a} = (l, m, n)$, параллельным прямой. Векторное уравнение прямой имеет вид $\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{a}$, где $\vec{r}$ — радиус-вектор произвольной точки $M(x, y, z)$ на прямой, $\vec{r_0}$ — радиус-вектор точки $M_0$, а $t$ — скалярный параметр, принимающий любые действительные значения.

2.Параметрические уравнения прямой: Из векторного уравнения прямой, если записать его в координатной форме, следуют параметрические уравнения:$x = x_0 + lt$$y = y_0 + mt$$z = z_0 + nt$где $t$ — параметр, $M_0(x_0, y_0, z_0)$ — точка на прямой, а $(l, m, n)$ — координаты направляющего вектора.

3.Канонические уравнения прямой: Если все координаты направляющего вектора $l, m, n$ отличны от нуля, то из параметрических уравнений можно выразить параметр $t$ и приравнять его значения, получив канонические уравнения прямой:$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

4.Как пересечение двух плоскостей: Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух непараллельных плоскостей. В этом случае ее уравнениями являются уравнения этих двух плоскостей, образующие систему:$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$где нормальные векторы плоскостей $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ не являются коллинеарными.

Ответ:

2. Какой вектор называется направляющим вектором прямой?

Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Он определяет направление прямой в пространстве.

Ответ:

3. Какие уравнения прямой называются параметрическими?

Параметрическими уравнениями прямой называются уравнения, которые выражают координаты $x, y, z$ каждой точки прямой через некий скалярный параметр $t$ (обычно, время или просто числовой параметр). Если прямая проходит через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{a} = (l, m, n)$, то ее параметрические уравнения имеют вид:$x = x_0 + lt$$y = y_0 + mt$$z = z_0 + nt$где $t \in (-\infty, +\infty)$. Каждому значению параметра $t$ соответствует единственная точка на прямой.

Ответ: