Номер 27.7, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27.7. Точка движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора $ \vec{e}(1; 2; 3) $. В начальный момент времени $ t = 0 $ она имела координаты $ (-1; 1; -2) $. Какие координаты она будет иметь в момент времени $ t = 4 $?

Дано:

Движение точки: прямолинейное и равномерное.

Направляющий вектор движения: $\vec{e} = (1; 2; 3)$

Начальный момент времени: $t_0 = 0$

Начальные координаты точки: $\vec{r_0} = (-1; 1; -2)$

Момент времени, для которого необходимо найти координаты: $t = 4$

Найти:

Координаты точки $\vec{r}(t)$ в момент времени $t = 4$.

Решение:

Поскольку движение точки является прямолинейным и равномерным, ее положение в любой момент времени $t$ может быть описано уравнением равномерного прямолинейного движения: $\vec{r}(t) = \vec{r_0} + \vec{v}(t - t_0)$

Здесь $\vec{r}(t)$ – радиус-вектор положения точки в момент времени $t$, $\vec{r_0}$ – радиус-вектор начального положения точки в начальный момент времени $t_0$, и $\vec{v}$ – вектор скорости точки.

Вектор скорости $\vec{v}$ направлен вдоль заданного вектора $\vec{e}$. Поскольку в задаче не указана величина скорости движения, но сказано, что движение происходит "в направлении вектора $\vec{e}(1; 2; 3)$", и движение является равномерным, в данном контексте предполагается, что вектор $\vec{e}$ представляет собой вектор смещения за единицу времени. То есть, мы принимаем $\vec{v} = \vec{e}$.

Таким образом, вектор скорости: $\vec{v} = (1; 2; 3)$.

Учитывая, что начальный момент времени $t_0 = 0$, уравнение движения принимает вид: $\vec{r}(t) = \vec{r_0} + \vec{v}t$

Подставим известные значения в это уравнение: Начальные координаты: $\vec{r_0} = (-1; 1; -2)$ Вектор скорости: $\vec{v} = (1; 2; 3)$ Момент времени: $t = 4$

Вычислим координаты точки в момент времени $t = 4$: $\vec{r}(4) = (-1; 1; -2) + (1; 2; 3) \times 4$

Сначала умножим вектор скорости на время: $(1; 2; 3) \times 4 = (1 \times 4; 2 \times 4; 3 \times 4) = (4; 8; 12)$

Теперь сложим начальные координаты с полученным вектором смещения: $\vec{r}(4) = (-1; 1; -2) + (4; 8; 12)$

Произведем сложение соответствующих компонент векторов: $x$-координата: $-1 + 4 = 3$ $y$-координата: $1 + 8 = 9$ $z$-координата: $-2 + 12 = 10$

Таким образом, координаты точки в момент времени $t = 4$ будут $(3; 9; 10)$.

Ответ: Координаты точки в момент времени $t=4$ будут $(3; 9; 10)$.