Номер 27.9, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27.9. Точка движется прямолинейно и равномерно. В момент времени $t=2$ она имела координаты $(3; 4; 0)$, а в момент времени $t=6$ — координаты $(1; 2; -1)$. Какова скорость движения точки?

Дано:

Начальный момент времени: $t_1 = 2 \, \text{с}$
Начальные координаты: $\vec{r_1} = (3; 4; 0)$
Конечный момент времени: $t_2 = 6 \, \text{с}$
Конечные координаты: $\vec{r_2} = (1; 2; -1)$
Тип движения: прямолинейное и равномерное.

Перевод в СИ:

Все величины даны в единицах СИ (секунды для времени). Координаты предполагаются в метрах, что также соответствует СИ. Перевод величин не требуется.

Найти:

Скорость движения точки (модуль вектора скорости): $|\vec{v}| - ?$

Решение:

Поскольку движение точки является прямолинейным и равномерным, ее вектор скорости $\vec{v}$ остается постоянным. Для нахождения вектора скорости нам необходимо определить вектор перемещения $\Delta \vec{r}$ и промежуток времени $\Delta t$, за который это перемещение произошло.

Вектор перемещения $\Delta \vec{r}$ определяется как разность конечного радиус-вектора $\vec{r_2}$ и начального радиус-вектора $\vec{r_1}$: $\Delta \vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$
$\Delta \vec{r} = (1-3; 2-4; -1-0)$
$\Delta \vec{r} = (-2; -2; -1)$

Промежуток времени $\Delta t$ определяется как разность конечного $t_2$ и начального $t_1$ моментов времени: $\Delta t = t_2 - t_1$
$\Delta t = 6 \, \text{с} - 2 \, \text{с} = 4 \, \text{с}$

Вектор скорости $\vec{v}$ при равномерном движении равен отношению вектора перемещения к промежутку времени: $\vec{v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$
$\vec{v} = \frac{(-2; -2; -1)}{4}$
$\vec{v} = \left(-\frac{2}{4}; -\frac{2}{4}; -\frac{1}{4}\right)$
$\vec{v} = \left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}\right)$

Скорость движения точки – это модуль вектора скорости. Модуль вектора в трехмерном пространстве находится по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$
Подставляем компоненты вектора скорости: $|\vec{v}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2}$
$|\vec{v}| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}}$
Приводим дроби к общему знаменателю: $|\vec{v}| = \sqrt{\frac{4}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16}}$
$|\vec{v}| = \sqrt{\frac{4+4+1}{16}}$
$|\vec{v}| = \sqrt{\frac{9}{16}}$
$|\vec{v}| = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}$
$|\vec{v}| = \frac{3}{4}$
$|\vec{v}| = 0.75 \, \text{м/с}$

Ответ:

Скорость движения точки составляет $0.75 \, \text{м/с}$.