Номер 4, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $B_1 D_1$.

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Требуется найти угол между прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$.

Для удобства расчетов примем длину ребра куба за $a$. Перевод в систему СИ не требуется, так как задача носит чисто геометрический характер и не содержит величин с единицами измерения.

Найти:

Угол между прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$.

Решение

Для нахождения угла между двумя скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$, необходимо перенести одну из прямых параллельно самой себе так, чтобы она пересекала другую прямую.

Рассмотрим прямую $B_1D_1$. Она параллельна прямой $BD$, так как $BB_1D_1D$ является прямоугольником (или, что эквивалентно, вектор $\vec{B_1D_1}$ равен вектору $\vec{BD}$ при смещении от начальной точки куба). Таким образом, угол между прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$ равен углу между прямыми $BA_1$ и $BD$. Эти две прямые пересекаются в точке $B$. Нам необходимо найти угол $\angle A_1BD$.

Рассмотрим треугольник $A_1BD$. Вычислим длины его сторон, используя длину ребра куба $a$:

1. Длина стороны $BD$: $BD$ является диагональю квадрата $ABCD$ (основание куба). По теореме Пифагора:

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Длина стороны $BA_1$: $BA_1$ является диагональю грани $ABA_1B_1$. По теореме Пифагора:

$BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

3. Длина стороны $A_1D$: $A_1D$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. По теореме Пифагора:

$A_1D = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Мы видим, что все три стороны треугольника $A_1BD$ имеют одинаковую длину: $BD = BA_1 = A_1D = a\sqrt{2}$.

Следовательно, треугольник $A_1BD$ является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Угол между прямыми $BA_1$ и $BD$ — это угол $\angle A_1BD$.

Таким образом, $\angle A_1BD = 60^\circ$.

Ответ:

Угол между прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$ равен $60^\circ$.