Страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Угол между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Решение:

Для определения угла между двумя скрещивающимися прямыми необходимо одну из прямых перенести параллельно самой себе так, чтобы она пересекала другую прямую. Угол между исходной и перенесенной прямой будет искомым углом.

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB$ параллельно ребру $DC$, так как они являются противоположными сторонами квадрата $ABCD$.

2. Таким образом, угол между прямыми $AB$ и $CB_1$ равен углу между прямыми $DC$ и $CB_1$.

3. Рассмотрим прямую $DC$ и плоскость грани $BCC_1B_1$.

4. Прямая $DC$ перпендикулярна прямой $BC$, так как они являются смежными ребрами куба, образующими квадрат $ABCD$. То есть $\angle DCB = 90^\circ$.

5. Прямая $DC$ перпендикулярна прямой $CC_1$, так как они также являются смежными ребрами куба, образующими квадрат $DCC_1D_1$. То есть $\angle DCC_1 = 90^\circ$.

6. Поскольку прямая $DC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $CC_1$), лежащим в плоскости грани $BCC_1B_1$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $DC$ перпендикулярна всей плоскости $BCC_1B_1$.

7. Прямая $CB_1$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$. Следовательно, прямая $DC$ перпендикулярна прямой $CB_1$.

8. Таким образом, угол между прямыми $DC$ и $CB_1$ равен $90^\circ$.

9. Отсюда следует, что искомый угол между прямыми $AB$ и $CB_1$ также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AB$ и $DA_1$.

3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $CB$.

В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между прямыми $AB$ и $DA_1$.

Дано

Куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$.

Найти

Угол между прямыми $AB$ и $DA_1$.

Решение

Для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $DA_1$, необходимо рассмотреть их взаимное расположение в кубе. Прямая $AB$ является ребром куба. Грань $ADD_1A_1$ является одной из боковых граней куба, и прямая $DA_1$ является её диагональю. Ребро $AB$ перпендикулярно плоскости грани $ADD_1A_1$, так как $AB \perp AD$ (как стороны квадрата $ABCD$) и $AB \perp AA_1$ (как перпендикулярные рёбра куба, выходящие из одной вершины). Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поскольку прямая $DA_1$ лежит в плоскости грани $ADD_1A_1$, то прямая $AB$ перпендикулярна прямой $DA_1$. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

3. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между прямыми $BA$ и $CB_1$.

Дано

Куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$.

Найти

Угол между прямыми $BA$ и $CB_1$.

Решение

Прямые $BA$ и $CB_1$ являются скрещивающимися. Чтобы найти угол между ними, мы можем перенести одну из прямых параллельно самой себе так, чтобы она пересеклась с другой прямой. Прямая $BA$ параллельна прямой $CD$ (как противоположные стороны квадрата $ABCD$). Таким образом, угол между прямыми $BA$ и $CB_1$ равен углу между прямыми $CD$ и $CB_1$. Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. Прямая $CD$ является ребром куба, и она перпендикулярна плоскости грани $BCC_1B_1$. Это следует из того, что $CD \perp CB$ (стороны квадрата $ABCD$) и $CD \perp CC_1$ (рёбра куба, перпендикулярные основанию). Прямая $CB_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$ и, следовательно, лежит в этой плоскости. Поскольку прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $BCC_1B_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, прямая $CD$ перпендикулярна прямой $CB_1$. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

3. В кубе $ABCD A_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Дано: Куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$.

Найти: Угол между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Решение

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $CB_1$, необходимо перенести одну из прямых параллельно самой себе так, чтобы она пересекала другую прямую.

Рассмотрим прямую $BA_1$. В кубе $ABCD A_1B_1C_1D_1$ отрезок $BA_1$ является диагональю грани $ABA_1B_1$.Рассмотрим отрезок $CD_1$. Это диагональ грани $CDD_1C_1$.

Докажем, что прямые $BA_1$ и $CD_1$ параллельны. Для этого удобно использовать метод координат.Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим начало координат в точке $A(0,0,0)$.Тогда координаты вершин куба будут:$A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$.$A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$.

Найдем вектор $\vec{BA_1}$:$\vec{BA_1} = A_1 - B = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$.

Найдем вектор $\vec{CD_1}$:$\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-a, a-a, a-0) = (-a, 0, a)$.

Поскольку векторы $\vec{BA_1}$ и $\vec{CD_1}$ равны, то прямые $BA_1$ и $CD_1$ параллельны.

Теперь задача сводится к нахождению угла между прямыми $CD_1$ и $CB_1$. Эти две прямые пересекаются в точке $C$. Искомый угол равен углу $\angle D_1CB_1$ в треугольнике $D_1CB_1$.

Найдем длины сторон треугольника $D_1CB_1$:

1. Длина $CB_1$: Это диагональ грани $BCC_1B_1$. Так как грань является квадратом со стороной $a$, то по теореме Пифагора: $CB_1 = \sqrt{BC^2 + BB_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Длина $CD_1$: Это длина отрезка, параллельного $BA_1$. Используя координаты $C(a,a,0)$ и $D_1(0,a,a)$: $CD_1 = \sqrt{(0-a)^2 + (a-a)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

3. Длина $D_1B_1$: Это диагональ верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Используя координаты $D_1(0,a,a)$ и $B_1(a,0,a)$: $D_1B_1 = \sqrt{(a-0)^2 + (0-a)^2 + (a-a)^2} = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + 0^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Так как все три стороны треугольника $D_1CB_1$ равны $a\sqrt{2}$, треугольник $D_1CB_1$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle D_1CB_1 = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

4. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $B_1 D_1$.

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Требуется найти угол между прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$.

Для удобства расчетов примем длину ребра куба за $a$. Перевод в систему СИ не требуется, так как задача носит чисто геометрический характер и не содержит величин с единицами измерения.

Найти:

Угол между прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$.

Решение

Для нахождения угла между двумя скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$, необходимо перенести одну из прямых параллельно самой себе так, чтобы она пересекала другую прямую.

Рассмотрим прямую $B_1D_1$. Она параллельна прямой $BD$, так как $BB_1D_1D$ является прямоугольником (или, что эквивалентно, вектор $\vec{B_1D_1}$ равен вектору $\vec{BD}$ при смещении от начальной точки куба). Таким образом, угол между прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$ равен углу между прямыми $BA_1$ и $BD$. Эти две прямые пересекаются в точке $B$. Нам необходимо найти угол $\angle A_1BD$.

Рассмотрим треугольник $A_1BD$. Вычислим длины его сторон, используя длину ребра куба $a$:

1. Длина стороны $BD$: $BD$ является диагональю квадрата $ABCD$ (основание куба). По теореме Пифагора:

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Длина стороны $BA_1$: $BA_1$ является диагональю грани $ABA_1B_1$. По теореме Пифагора:

$BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

3. Длина стороны $A_1D$: $A_1D$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. По теореме Пифагора:

$A_1D = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Мы видим, что все три стороны треугольника $A_1BD$ имеют одинаковую длину: $BD = BA_1 = A_1D = a\sqrt{2}$.

Следовательно, треугольник $A_1BD$ является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Угол между прямыми $BA_1$ и $BD$ — это угол $\angle A_1BD$.

Таким образом, $\angle A_1BD = 60^\circ$.

Ответ:

Угол между прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$ равен $60^\circ$.

5. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $AC$.

6. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $AD_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямыми $BA_1$ и $AC$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$.

Прямая $AC$ является диагональю грани $ABCD$. Длина этой диагонали $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Прямая $BA_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$. Длина этой диагонали $BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Для нахождения угла между двумя скрещивающимися прямыми, перенесем одну из прямых параллельно себе так, чтобы она пересекала вторую прямую. Прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $AC$, так как $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$ (их векторы равны, например, если $A$ - начало координат, то $C(a,a,0)$ и $A_1(0,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, следовательно $\vec{AC} = (a,a,0)$ и $\vec{A_1C_1} = (a,a,0)$).

Прямая $A_1C_1$ пересекает прямую $BA_1$ в точке $A_1$. Таким образом, искомый угол между прямыми $BA_1$ и $AC$ равен углу между прямыми $BA_1$ и $A_1C_1$, то есть углу $\angle BA_1C_1$ в треугольнике $BA_1C_1$.

Рассмотрим треугольник $BA_1C_1$.

Длина стороны $BA_1$: это диагональ грани $ABB_1A_1$. $BA_1 = a\sqrt{2}$.

Длина стороны $A_1C_1$: это диагональ грани $A_1B_1C_1D_1$. $A_1C_1 = a\sqrt{2}$.

Длина стороны $BC_1$: это диагональ грани $BCC_1B_1$. $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Поскольку все три стороны треугольника $BA_1C_1$ равны ($BA_1 = A_1C_1 = BC_1 = a\sqrt{2}$), треугольник $BA_1C_1$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.

Следовательно, угол $\angle BA_1C_1 = 60^\circ$.

Ответ:

Угол между прямыми $BA_1$ и $AC$ равен $60^\circ$.

6. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $AD_1$.

7. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и $DD_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Требуется найти угол между прямыми $BA_1$ и $AD_1$.

Найти:

Угол между прямыми $BA_1$ и $AD_1$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $AD_1$, необходимо перенести одну из них параллельно самой себе так, чтобы она пересекала другую прямую.

Рассмотрим прямую $BA_1$. Найдем прямую, параллельную $BA_1$ и пересекающую $AD_1$.

Воспользуемся методом координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (a,0,0)$
• $C = (a,a,0)$
• $D = (0,a,0)$
• $A_1 = (0,0,a)$
• $B_1 = (a,0,a)$
• $C_1 = (a,a,a)$
• $D_1 = (0,a,a)$

Вектор $\vec{BA_1}$ имеет координаты: $A_1 - B = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$.

Рассмотрим вектор $\vec{CD_1}$. Он имеет координаты: $D_1 - C = (0-a, a-a, a-0) = (-a, 0, a)$.

Так как векторы $\vec{BA_1}$ и $\vec{CD_1}$ равны, то прямые $BA_1$ и $CD_1$ параллельны.

Прямая $CD_1$ пересекает прямую $AD_1$ в точке $D_1$. Следовательно, угол между прямыми $BA_1$ и $AD_1$ равен углу между прямыми $CD_1$ и $AD_1$, то есть углу $\angle AD_1C$ в треугольнике $AD_1C$.

Найдем длины сторон треугольника $AD_1C$:

• Сторона $AD_1$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. Длина диагонали грани куба равна $a\sqrt{2}$.
• Сторона $CD_1$ является диагональю грани $CDD_1C_1$. Длина диагонали грани куба равна $a\sqrt{2}$.
• Сторона $AC$ является диагональю грани $ABCD$. Длина диагонали грани куба также равна $a\sqrt{2}$.

Так как все стороны треугольника $AD_1C$ равны ($AD_1 = CD_1 = AC = a\sqrt{2}$), то треугольник $AD_1C$ является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle AD_1C = 60^\circ$.

Ответ:

$60^\circ$

7. В кубе $ABCD A_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $AC$ и $BD_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямыми $AC$ и $BD_1$.

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин, участвующих в построении прямых, будут следующими: $A(0,0,0)$ $C(a,a,0)$ $B(a,0,0)$ $D_1(0,a,a)$

Найдем вектор, направляющий прямую $AC$. Вектор $\vec{AC}$ определяется как разность координат точки $C$ и точки $A$: $\vec{AC} = (a-0, a-0, 0-0) = (a,a,0)$.

Найдем вектор, направляющий прямую $BD_1$. Вектор $\vec{BD_1}$ определяется как разность координат точки $D_1$ и точки $B$: $\vec{BD_1} = (0-a, a-0, a-0) = (-a,a,a)$.

Угол $\theta$ между двумя прямыми можно найти с помощью скалярного произведения их направляющих векторов по формуле: $\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$ где $\vec{u} = \vec{AC}$ и $\vec{v} = \vec{BD_1}$. Используется абсолютное значение скалярного произведения, так как угол между прямыми по определению является острым или прямым (от $0^\circ$ до $90^\circ$).

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD_1}$: $\vec{AC} \cdot \vec{BD_1} = (a)(-a) + (a)(a) + (0)(a) = -a^2 + a^2 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD_1}$ равно нулю, это означает, что данные векторы ортогональны (перпендикулярны). Следовательно, прямые $AC$ и $BD_1$ перпендикулярны. $\cos \theta = \frac{0}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD_1}|} = 0$ $\theta = \arccos(0) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

8. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AC$ и $DB_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямыми $AC$ и $DB_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $DB_1$ воспользуемся свойством перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим прямую $AC$, являющуюся диагональю основания $ABCD$.

Рассмотрим плоскость $BB_1D_1D$, которая проходит через прямую $DB_1$.

Покажем, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BB_1D_1D$. Для этого достаточно показать, что $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

1. В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Следовательно, $AC \perp BD$. Прямая $BD$ лежит в плоскости $BB_1D_1D$.

2. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, так как это куб. Поскольку прямая $AC$ лежит в плоскости $ABCD$, то $BB_1 \perp AC$.

Мы установили, что прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $BB_1$, которые лежат в плоскости $BB_1D_1D$.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости.

Таким образом, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BB_1D_1D$.

Поскольку прямая $DB_1$ лежит в плоскости $BB_1D_1D$, то прямая $AC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая $DB_1$.

Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $DB_1$ равен $90^\circ$.

Альтернативное решение (векторный метод):

Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Тогда координаты соответствующих вершин будут:

• $A(0,0,0)$
• $C(a,a,0)$
• $D(0,a,0)$
• $B_1(a,0,a)$

Найдем координаты векторов, соответствующих прямым $AC$ и $DB_1$:

Вектор $\vec{AC} = C - A = (a-0, a-0, 0-0) = (a,a,0)$.

Вектор $\vec{DB_1} = B_1 - D = (a-0, 0-a, a-0) = (a,-a,a)$.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB_1} = (a)(a) + (a)(-a) + (0)(a) = a^2 - a^2 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны.

Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $DB_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $BC_1$ и $CA_1$.

10. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $BC_1$ и $DD_1$.

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод данных в СИ

Пусть длина ребра куба равна $a$ (безразмерная величина в данном случае, может быть в любых единицах длины).

Найти:

Угол между прямыми $BC_1$ и $CA_1$.

Решение

Для нахождения угла между двумя прямыми в пространстве воспользуемся методом координат. Разместим куб в декартовой системе координат. Пусть вершина $D$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а оси координат направлены вдоль ребер куба $DA$, $DC$ и $DD_1$.

Тогда координаты вершин куба будут:

$D=(0,0,0)$, $A=(0,a,0)$, $B=(a,a,0)$, $C=(a,0,0)$, $D_1=(0,0,a)$, $A_1=(0,a,a)$, $B_1=(a,a,a)$, $C_1=(a,0,a)$.

Найдем векторы, соответствующие данным прямым $BC_1$ и $CA_1$. Для этого вычтем координаты начальной точки вектора из координат конечной точки:

Вектор $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (a,0,a) - (a,a,0) = (a-a, 0-a, a-0) = (0, -a, a)$.

Вектор $\vec{CA_1}$:

$\vec{CA_1} = A_1 - C = (0,a,a) - (a,0,0) = (0-a, a-0, a-0) = (-a, a, a)$.

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ можно найти, используя формулу скалярного произведения:

$\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BC_1}$ и $\vec{CA_1}$:

$\vec{BC_1} \cdot \vec{CA_1} = (0)(-a) + (-a)(a) + (a)(a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{BC_1}$ и $\vec{CA_1}$ равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны.

Следовательно, угол между прямыми $BC_1$ и $CA_1$ равен $90^\circ$.

Ответ:

$90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$.

10. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BC_1$ и $DB_1$.

11. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $CA_1$ и $DC$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BC_1$ и $DB_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

(Для удобства расчетов введем длину ребра куба $a$. Перевод в СИ не требуется, так как задача по геометрии и результат будет в градусах.)

Найти: Угол между прямыми $BC_1$ и $DB_1$.

Решение: Разместим куб в декартовой системе координат. Пусть вершина $D$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин куба будут: $D = (0,0,0)$ $A = (a,0,0)$ $B = (a,a,0)$ $C = (0,a,0)$ $D_1 = (0,0,a)$ $A_1 = (a,0,a)$ $B_1 = (a,a,a)$ $C_1 = (0,a,a)$

Для нахождения угла между прямыми, найдем направляющие векторы этих прямых. Вектор $\vec{BC_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{BC_1} = C_1 - B = (0,a,a) - (a,a,0) = (-a, 0, a)$.

Вектор $\vec{DB_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{DB_1} = B_1 - D = (a,a,a) - (0,0,0) = (a,a,a)$.

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле косинуса угла: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BC_1}$ и $\vec{DB_1}$: $\vec{BC_1} \cdot \vec{DB_1} = (-a)(a) + (0)(a) + (a)(a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы ортогональны (перпендикулярны) друг другу. Следовательно, угол между прямыми $BC_1$ и $DB_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

11. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $CA_1$ и $DC_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

(Для удобства расчетов введем длину ребра куба $a$. Перевод в СИ не требуется, так как задача по геометрии и результат будет в градусах.)

Найти: Угол между прямыми $CA_1$ и $DC_1$.

Решение: Используем ту же систему координат, что и в предыдущей задаче. Пусть вершина $D$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Длина ребра куба равна $a$. Координаты вершин куба: $D = (0,0,0)$ $A = (a,0,0)$ $B = (a,a,0)$ $C = (0,a,0)$ $D_1 = (0,0,a)$ $A_1 = (a,0,a)$ $B_1 = (a,a,a)$ $C_1 = (0,a,a)$

Найдем направляющие векторы прямых $CA_1$ и $DC_1$. Вектор $\vec{CA_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{CA_1} = A_1 - C = (a,0,a) - (0,a,0) = (a, -a, a)$.

Вектор $\vec{DC_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{DC_1} = C_1 - D = (0,a,a) - (0,0,0) = (0,a,a)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{CA_1}$ и $\vec{DC_1}$: $\vec{CA_1} \cdot \vec{DC_1} = (a)(0) + (-a)(a) + (a)(a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы ортогональны (перпендикулярны) друг другу. Следовательно, угол между прямыми $CA_1$ и $DC_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

11. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $CA_1$ и $DC_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Угол между прямыми $CA_1$ и $DC_1$.

Решение

Для определения угла между двумя прямыми в пространстве воспользуемся координатным методом.

1. Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем систему координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты других необходимых вершин будут:
   • $D=(0,0,0)$
   • $C=(a,0,0)$ (лежит на оси X)
   • $A=(0,a,0)$ (лежит на оси Y)
   • $D_1=(0,0,a)$ (лежит на оси Z)
   • $A_1=(0,a,a)$ (проекция $A$ на верхнюю грань, или $A + \vec{DD_1}$)
   • $C_1=(a,0,a)$ (проекция $C$ на верхнюю грань, или $C + \vec{DD_1}$)
2. Найдем направляющий вектор прямой $CA_1$.

   Вектор $\vec{CA_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{CA_1} = A_1 - C = (0-a, a-0, a-0) = (-a, a, a)$.

3. Найдем направляющий вектор прямой $DC_1$.

   Вектор $\vec{DC_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{DC_1} = C_1 - D = (a-0, 0-0, a-0) = (a, 0, a)$.

4. Угол $\theta$ между двумя прямыми (или их направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$) находится по формуле:

   $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$

   Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{CA_1}$ и $\vec{DC_1}$: $\vec{CA_1} \cdot \vec{DC_1} = (-a)(a) + (a)(0) + (a)(a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$.

5. Так как скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, это означает, что векторы ортогональны. Следовательно, угол между прямыми $CA_1$ и $DC_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

12. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BD_1$ и $DC_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Пусть длина ребра куба равна $a$.

Найти:

Угол между прямыми $BD_1$ и $DC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ направим вдоль ребер $AB$, $AD$, $AA_1$ соответственно.

Координаты вершин куба будут следующими:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (a,0,0)$
• $C = (a,a,0)$
• $D = (0,a,0)$
• $A_1 = (0,0,a)$
• $B_1 = (a,0,a)$
• $C_1 = (a,a,a)$
• $D_1 = (0,a,a)$

Найдем векторы, соответствующие заданным прямым.

Для прямой $BD_1$ возьмем вектор $\vec{BD_1}$.

$\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-a, a-0, a-0) = (-a, a, a)$

Для прямой $DC_1$ возьмем вектор $\vec{DC_1}$.

$\vec{DC_1} = C_1 - D = (a-0, a-a, a-0) = (a, 0, a)$

Угол $\phi$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой скалярного произведения:

$\cos \phi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BD_1}$ и $\vec{DC_1}$:

$\vec{BD_1} \cdot \vec{DC_1} = (-a)(a) + (a)(0) + (a)(a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{BD_1}$ и $\vec{DC_1}$ перпендикулярны. Это означает, что угол между прямыми $BD_1$ и $DC_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

13. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$.

14. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $BD$.

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а его ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ лежали вдоль осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно.

Координаты вершин, необходимых для построения векторов:

$A = (0,0,0)$

$B = (a,0,0)$

$A_1 = (0,0,a)$

$C_1 = (a,a,a)$

Найдем направляющий вектор для прямой $BA_1$. Возьмем вектор $\vec{BA_1}$:

$\vec{BA_1} = A_1 - B = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$

Пусть $\vec{u} = (-a, 0, a)$.

Найдем направляющий вектор для прямой $AC_1$. Возьмем вектор $\vec{AC_1}$:

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$

Пусть $\vec{v} = (a, a, a)$.

Угол $\theta$ между двумя прямыми (а значит, между их направляющими векторами) можно найти, используя формулу скалярного произведения векторов:

$\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Используем модуль в числителе, так как угол между прямыми по определению находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-a)(a) + (0)(a) + (a)(a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, это означает, что векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ ортогональны (перпендикулярны). Следовательно, прямые $BA_1$ и $AC_1$ перпендикулярны.

Длины векторов:

$|\vec{u}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Подставим значения в формулу для $\cos\theta$:

$\cos\theta = \frac{0}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{3})} = 0$

Из $\cos\theta = 0$ следует, что $\theta = 90^\circ$.

$\theta = 90^\circ$.

14. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод данных в СИ

Пусть длина ребра куба равна $a$ (условная единица длины, т.к. задача не требует числовых значений).

Найти:

Угол между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Решение

Для определения угла между двумя прямыми в пространстве воспользуемся методом координат.

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $D$ совпала с началом координат $(0, 0, 0)$. Ребра куба $DA$, $DC$ и $DD_1$ направим соответственно вдоль осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$.

Координаты вершин куба при длине ребра $a$ будут следующими:

• $D = (0, 0, 0)$

• $A = (a, 0, 0)$

• $B = (a, a, 0)$

• $C = (0, a, 0)$

• $D_1 = (0, 0, a)$

• $A_1 = (a, 0, a)$

• $B_1 = (a, a, a)$

• $C_1 = (0, a, a)$

Теперь найдем координаты векторов, которые лежат на заданных прямых:

1. Вектор $\vec{BA_1}$:

Начало вектора в точке $B(a, a, 0)$, конец в точке $A_1(a, 0, a)$.

Координаты вектора $\vec{BA_1} = (A_1x - Bx, A_1y - By, A_1z - Bz)$:

$\vec{BA_1} = (a - a, 0 - a, a - 0) = (0, -a, a)$

2. Вектор $\vec{DB_1}$:

Начало вектора в точке $D(0, 0, 0)$, конец в точке $B_1(a, a, a)$.

Координаты вектора $\vec{DB_1} = (B_1x - Dx, B_1y - Dy, B_1z - Dz)$:

$\vec{DB_1} = (a - 0, a - 0, a - 0) = (a, a, a)$

Для нахождения угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ используется формула скалярного произведения:

$\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{DB_1}$:

$\vec{BA_1} \cdot \vec{DB_1} = (0)(a) + (-a)(a) + (a)(a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что косинус угла между ними равен нулю. Следовательно, угол $\theta$ равен $90^\circ$.

Для полноты вычислений найдем длины векторов:

$|\vec{BA_1}| = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{0 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

$|\vec{DB_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos\theta = \frac{0}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{3})} = \frac{0}{a^2\sqrt{6}} = 0$

Следовательно, $\theta = \arccos(0) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

15. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AD_1$ и $CA_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Угол между прямыми $AD_1$ и $CA_1$.

Перевод в СИ: Не требуется, так как задача относится к геометрии и не содержит физических величин.

Решение

Для нахождения угла между прямыми $AD_1$ и $CA_1$ воспользуемся методом координат.

Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $DA$, $DC$, $DD_1$ лежали вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

Тогда координаты необходимых вершин куба будут следующими:

• $A = (a,0,0)$
• $C = (0,a,0)$
• $D_1 = (0,0,a)$
• $A_1 = (a,0,a)$

Найдем векторы, направляющие прямые $AD_1$ и $CA_1$.

Вектор $\vec{AD_1}$ определяется как разность координат конечной точки $D_1$ и начальной точки $A$:
$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$

Вектор $\vec{CA_1}$ определяется как разность координат конечной точки $A_1$ и начальной точки $C$:
$\vec{CA_1} = A_1 - C = (a-0, 0-a, a-0) = (a, -a, a)$

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ (и, следовательно, между прямыми, которым эти векторы принадлежат) определяется по формуле косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{CA_1}$:

$\vec{AD_1} \cdot \vec{CA_1} = (-a)(a) + (0)(-a) + (a)(a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$

Так как скалярное произведение векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{CA_1}$ равно нулю, это означает, что данные векторы ортогональны. Следовательно, прямые $AD_1$ и $CA_1$ перпендикулярны друг другу.

Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$.

Ответ: Угол между прямыми $AD_1$ и $CA_1$ равен $90^\circ$.

16. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $AD_1$ и $DB_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямыми $AD_1$ и $DB_1$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Ось $x$ направим вдоль ребра $AB$, ось $y$ вдоль ребра $AD$, а ось $z$ вдоль ребра $AA_1$.

Координаты вершин, необходимых для решения задачи, будут:

• $A = (0,0,0)$
• $D = (0,a,0)$
• $D_1 = (0,a,a)$
• $B_1 = (a,0,a)$

Найдем координаты вектора $\vec{AD_1}$:$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$.

Найдем координаты вектора $\vec{DB_1}$:$\vec{DB_1} = B_1 - D = (a-0, 0-a, a-0) = (a, -a, a)$.

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой косинуса угла через скалярное произведение:$\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{DB_1}$:$\vec{AD_1} \cdot \vec{DB_1} = (0)(a) + (a)(-a) + (a)(a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{DB_1}$ равно нулю, это означает, что векторы ортогональны (перпендикулярны). Следовательно, угол между прямыми $AD_1$ и $DB_1$ равен $90^\circ$.

Ответ:

$90^\circ$

17. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $A_1C_1$ и $DB_1$.

18. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AC_1$ и $BD$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Угол между прямыми $A_1C_1$ и $DB_1$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем декартову систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$. Оси координат направим вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно.

Тогда координаты вершин куба будут:

$D=(0,0,0)$

$A=(a,0,0)$

$B=(a,a,0)$

$C=(0,a,0)$

$D_1=(0,0,a)$

$A_1=(a,0,a)$

$B_1=(a,a,a)$

$C_1=(0,a,a)$

Найдем направляющие векторы для прямых $A_1C_1$ и $DB_1$.

Для прямой $A_1C_1$ в качестве направляющего вектора возьмем вектор $\vec{u} = \vec{A_1C_1}$.

$\vec{u} = C_1 - A_1 = (0-a, a-0, a-a) = (-a, a, 0)$.

Для прямой $DB_1$ в качестве направляющего вектора возьмем вектор $\vec{v} = \vec{DB_1}$.

$\vec{v} = B_1 - D = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$.

Угол $\theta$ между двумя прямыми (или их направляющими векторами) можно найти с помощью формулы косинуса угла через скалярное произведение векторов:

$\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-a)(a) + (a)(a) + (0)(a) = -a^2 + a^2 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{A_1C_1}$ и $\vec{DB_1}$ равно нулю, это означает, что данные векторы перпендикулярны. Следовательно, прямые $A_1C_1$ и $DB_1$ взаимно перпендикулярны.

Геометрическое подтверждение: Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$. Проекция прямой $DB_1$ на плоскость верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ есть прямая $D_1B_1$. Прямые $A_1C_1$ и $D_1B_1$ являются диагоналями квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, $A_1C_1 \perp D_1B_1$. По теореме о трех перпендикулярах, если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной. В данном случае, $A_1C_1$ перпендикулярна проекции $D_1B_1$, значит, $A_1C_1$ перпендикулярна $DB_1$. Таким образом, угол между прямыми $A_1C_1$ и $DB_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

18. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$ воспользуемся методом параллельного переноса.

Рассмотрим прямую $A_1C_1$. Она является диагональю верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Прямая $AC$ является диагональю нижней грани $ABCD$.

Поскольку грани куба параллельны и равны, а соответствующие вершины соединены перпендикулярными к граням ребрами, прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $AC$.

Следовательно, угол между прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD_1$.

Теперь рассмотрим прямую $AC$ и прямую $BD_1$.

1. Рассмотрим плоскость основания куба $ABCD$. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Таким образом, $AC \perp BD$.

2. Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Поскольку прямая $AC$ лежит в плоскости $ABCD$, то $DD_1 \perp AC$.

3. Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $DD_1$, которые лежат в плоскости $BDD_1B_1$. (Плоскость $BDD_1B_1$ содержит ребро $DD_1$ и диагональ $BD$).

4. Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BDD_1B_1$.

5. Прямая $BD_1$ лежит в плоскости $BDD_1B_1$.

6. Поскольку $AC$ перпендикулярна плоскости $BDD_1B_1$, и $BD_1$ лежит в этой плоскости, то $AC \perp BD_1$.

7. Так как $A_1C_1 \parallel AC$ и $AC \perp BD_1$, то и $A_1C_1 \perp BD_1$.

Таким образом, угол между прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$ равен $90^\circ$.

Альтернативно, с помощью векторного метода:

Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим куб в декартовой системе координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Координаты вершин:

$A(0,0,0)$

$B(a,0,0)$

$C(a,a,0)$

$D(0,a,0)$

$A_1(0,0,a)$

$B_1(a,0,a)$

$C_1(a,a,a)$

$D_1(0,a,a)$

Вектор $\vec{A_1C_1}$:$A_1 = (0,0,a)$, $C_1 = (a,a,a)$.$\vec{A_1C_1} = (a-0, a-0, a-a) = (a,a,0)$.

Вектор $\vec{BD_1}$:$B = (a,0,0)$, $D_1 = (0,a,a)$.$\vec{BD_1} = (0-a, a-0, a-0) = (-a,a,a)$.

Для нахождения угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ используется формула:$cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Скалярное произведение $\vec{A_1C_1} \cdot \vec{BD_1}$:$\vec{A_1C_1} \cdot \vec{BD_1} = (a)(-a) + (a)(a) + (0)(a) = -a^2 + a^2 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно $0$, это означает, что векторы $\vec{A_1C_1}$ и $\vec{BD_1}$ (и, следовательно, прямые $A_1C_1$ и $BD_1$) перпендикулярны друг другу.

Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Ответ: $90^\circ$

19. В правильном тетраэдре $ABCD$ найдите угол между прямыми $AB$ и $CD$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Найти:

Угол между прямыми $AB$ и $CD$.

Решение:

В правильном тетраэдре все четыре грани являются равносторонними треугольниками, а все ребра имеют одинаковую длину. Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$.

Рассмотрим ребра $AB$ и $CD$. Эти ребра являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми, мы можем перенести одну из прямых так, чтобы она пересекала другую, или найти плоскость, перпендикулярную обеим прямым, или использовать векторный метод. В данном случае, наиболее наглядным является геометрическое доказательство, основанное на свойствах равностороннего треугольника.

1. Пусть $M$ - середина ребра $CD$.

2. Рассмотрим грань $ACD$. Это равносторонний треугольник со стороной $a$. Поскольку $M$ - середина $CD$, отрезок $AM$ является медианой, а в равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, также является высотой. Следовательно, $AM \perp CD$.

3. Рассмотрим грань $BCD$. Это также равносторонний треугольник со стороной $a$. Аналогично, отрезок $BM$ является медианой к стороне $CD$, а значит, и высотой. Следовательно, $BM \perp CD$.

4. Мы получили, что прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $BM$, которые лежат в плоскости, проходящей через точки $A$, $M$, $B$ (плоскость $AMB$).

5. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей этой плоскости. Таким образом, $CD \perp \text{плоскости } AMB$.

6. Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $AMB$, и прямая $CD$ перпендикулярна этой плоскости, то прямая $CD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AB$.

Следовательно, прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

20. В правильном тетраэдре $ABCD$ найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Перевод в систему СИ: Данная задача является геометрической, не требующей перевода физических величин в систему СИ, так как искомая величина - угол.

Для нахождения угла между двумя скрещивающимися прямыми AC и BD в правильном тетраэдре, можно воспользоваться несколькими подходами.

Геометрический подход:

Рассмотрим правильный тетраэдр ABCD. В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками, и все ребра имеют одинаковую длину. Ключевое свойство правильного тетраэдра состоит в том, что любые две скрещивающиеся (противоположные) ребра перпендикулярны друг другу.

Докажем это свойство. Пусть AC и BD — две противоположные (скрещивающиеся) ребра тетраэдра. Рассмотрим середину M ребра BC.

В равностороннем треугольнике ABC, AM является медианой и высотой, следовательно, $AM \perp BC$.

В равностороннем треугольнике DBC, DM является медианой и высотой, следовательно, $DM \perp BC$.

Поскольку прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AM и DM, лежащим в плоскости AMD, то прямая BC перпендикулярна всей плоскости AMD ($BC \perp \text{плоскости } AMD$).

Так как ребро AD лежит в плоскости AMD, то $BC \perp AD$. Это подтверждает, что противоположные ребра перпендикулярны.

Аналогично, можно показать, что $AC \perp BD$ и $AB \perp CD$.

Так как прямые AC и BD являются противоположными ребрами правильного тетраэдра, то угол между ними равен $90^\circ$.

Векторный подход:

Пусть ребро правильного тетраэдра равно $a$. Разместим тетраэдр в декартовой системе координат.

Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Пусть вершина $B$ лежит на оси X: $B=(a,0,0)$.

Вершина $C$ лежит в плоскости XY. Координаты $C$ для равностороннего треугольника ABC: $C=(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$.

Вершина $D$ находится над центром треугольника ABC. Центр $O$ треугольника ABC имеет координаты:

$O_x = (0+a+a/2)/3 = a/2$

$O_y = (0+0+a\sqrt{3}/2)/3 = a\sqrt{3}/6$

Высота $h$ правильного тетраэдра с ребром $a$ равна $h = a\sqrt{2/3}$.

Следовательно, координаты вершины $D$: $D=(a/2, a\sqrt{3}/6, a\sqrt{2/3})$.

Найдем векторы, соответствующие прямым AC и BD:

Вектор $\vec{AC} = C - A = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{BD} = D - B = (a/2 - a, a\sqrt{3}/6, a\sqrt{2/3}) = (-a/2, a\sqrt{3}/6, a\sqrt{2/3})$.

Длины этих векторов (что соответствует длинам ребер) равны $a$:

$|\vec{AC}| = \sqrt{(a/2)^2 + (a\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{a^2/4 + 3a^2/4} = \sqrt{a^2} = a$.

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-a/2)^2 + (a\sqrt{3}/6)^2 + (a\sqrt{2/3})^2} = \sqrt{a^2/4 + 3a^2/36 + 2a^2/3} = \sqrt{a^2/4 + a^2/12 + 2a^2/3} = \sqrt{\frac{3a^2+a^2+8a^2}{12}} = \sqrt{\frac{12a^2}{12}} = a$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (a/2)(-a/2) + (a\sqrt{3}/2)(a\sqrt{3}/6) + (0)(a\sqrt{2/3})$

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = -a^2/4 + 3a^2/12 + 0$

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = -a^2/4 + a^2/4 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, то угол между ними равен $90^\circ$. Формула для угла $\theta$ между векторами: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$. Если $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, то $\cos \theta = 0$, что означает $\theta = 90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан).

21. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины ребер соответственно $BC$ и $BD$. Найдите угол между прямыми $AB$ и $EF$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Точка $E$ — середина ребра $BC$.

Точка $F$ — середина ребра $BD$.

Найти:

Угол между прямыми $AB$ и $EF$.

Решение:

Поскольку $ABCD$ — правильный тетраэдр, все его грани являются правильными (равносторонними) треугольниками. В частности, грань $BCD$ является равносторонним треугольником.

Точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $BC$ и $BD$ соответственно в треугольнике $BCD$. Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $BCD$.

По свойству средней линии треугольника, $EF$ параллельна третьей стороне $CD$ и равна ее половине: $EF \parallel CD$ и $EF = \frac{1}{2} CD$.

Угол между двумя скрещивающимися прямыми определяется как угол между одной из этих прямых и прямой, параллельной другой прямой и пересекающей первую. В нашем случае, поскольку $EF \parallel CD$, угол между прямыми $AB$ и $EF$ равен углу между прямыми $AB$ и $CD$.

Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$. Это скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра, то есть они не имеют общих вершин.

Докажем, что эти ребра перпендикулярны.

Пусть $M$ — середина ребра $CD$.

В равностороннем треугольнике $ACD$ отрезок $AM$ является медианой к стороне $CD$. Так как треугольник равносторонний, медиана является также высотой, поэтому $AM \perp CD$.

В равностороннем треугольнике $BCD$ отрезок $BM$ является медианой к стороне $CD$. По той же причине, $BM \perp CD$.

Таким образом, прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $BM$, лежащим в плоскости $AMB$. Следовательно, прямая $CD$ перпендикулярна всей плоскости $AMB$.

Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $AMB$, из того, что $CD \perp \text{плоскости } AMB$, следует, что $CD \perp AB$.

Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $CD$ равен $90^\circ$.

Так как угол между $AB$ и $EF$ равен углу между $AB$ и $CD$, и этот угол равен $90^\circ$.

Ответ:

$90^\circ$.

22. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины ребер соответственно $BD$ и $CD$. Найдите угол между прямыми $AD$ и $EF$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Точка $E$ — середина ребра $BD$.

Точка $F$ — середина ребра $CD$.

Найти:

Угол между прямыми $AD$ и $EF$.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $BCD$. Точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $BD$ и $CD$ соответственно. Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $BCD$.

2. По свойству средней линии треугольника, $EF$ параллелен стороне $BC$ и $EF = \frac{1}{2}BC$.

3. Поскольку прямая $EF$ параллельна прямой $BC$, угол между прямыми $AD$ и $EF$ равен углу между прямыми $AD$ и $BC$.

4. В правильном тетраэдре любые две скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны. Ребра $AD$ и $BC$ являются скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра $ABCD$. Таким образом, прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны.

5. Доказательство перпендикулярности $AD$ и $BC$ с использованием векторов:

Пусть сторона правильного тетраэдра равна $a$. Расположим вершину $D$ в начале координат. Векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$, $\vec{DC}$ обозначим как $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ соответственно.

Поскольку тетраэдр правильный, длины всех этих векторов равны $a$: $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=a$.

Углы между любыми двумя из этих векторов (например, $\angle ADB$, $\angle ADC$, $\angle BDC$) равны $60^\circ$.

Следовательно, скалярное произведение любых двух из этих векторов равно: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^\circ = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$. Аналогично, $\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = \frac{a^2}{2}$ и $\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = \frac{a^2}{2}$.

Найдем угол между прямыми $AD$ и $BC$. Для этого рассмотрим векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$.

Вектор $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\mathbf{a}$.

Вектор $\vec{BC} = \vec{DC} - \vec{DB} = \mathbf{c} - \mathbf{b}$.

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = (-\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{c} - \mathbf{b})$

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = -\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$

Подставим значения скалярных произведений:

$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = -\left(\frac{a^2}{2}\right) + \left(\frac{a^2}{2}\right) = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Таким образом, прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны, и угол между ними составляет $90^\circ$.

6. Поскольку угол между прямыми $AD$ и $EF$ равен углу между прямыми $AD$ и $BC$, то искомый угол равен $90^\circ$.

Ответ:

Угол между прямыми $AD$ и $EF$ равен $90^\circ$.

23. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E, F, G$ — середины ребер соответственно $BC, BD, AD$. Найдите угол $EFG$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Точки $E, F, G$ - середины рёбер $BC, BD, AD$ соответственно.

Найти:

Угол $EFG$.

Решение:

Пусть длина ребра правильного тетраэдра $ABCD$ равна $a$. Все рёбра тетраэдра имеют длину $a$. Все грани тетраэдра являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

1. Рассмотрим треугольник $BCD$. Точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $BC$ и $BD$ соответственно. По свойству средней линии треугольника, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $BCD$.

Следовательно, $EF = \frac{1}{2} CD$. Так как $CD$ - ребро правильного тетраэдра, $CD = a$.

Таким образом, $EF = \frac{a}{2}$.

2. Рассмотрим треугольник $ABD$. Точки $F$ и $G$ являются серединами сторон $BD$ и $AD$ соответственно. По свойству средней линии треугольника, отрезок $FG$ является средней линией треугольника $ABD$.

Следовательно, $FG = \frac{1}{2} AB$. Так как $AB$ - ребро правильного тетраэдра, $AB = a$.

Таким образом, $FG = \frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим отрезок $EG$. Для его нахождения введём вспомогательную точку $K$ - середину ребра $AC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Точки $E$ и $K$ являются серединами сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Следовательно, $EK$ является средней линией треугольника $ABC$.

Таким образом, $EK = \frac{1}{2} AB$. Так как $AB = a$, то $EK = \frac{a}{2}$. Также $EK \parallel AB$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Точки $K$ и $G$ являются серединами сторон $AC$ и $AD$ соответственно. Следовательно, $KG$ является средней линией треугольника $ACD$.

Таким образом, $KG = \frac{1}{2} CD$. Так как $CD = a$, то $KG = \frac{a}{2}$. Также $KG \parallel CD$.

Известно, что противоположные рёбра в правильном тетраэдре перпендикулярны. В данном случае, рёбра $AB$ и $CD$ являются противоположными, поэтому $AB \perp CD$.

Поскольку $EK \parallel AB$ и $KG \parallel CD$, то и $EK \perp KG$.

Таким образом, треугольник $EKG$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $K$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $EKG$ для нахождения $EG$:

$EG^2 = EK^2 + KG^2$

$EG^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

$EG^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}$

$EG^2 = \frac{2a^2}{4}$

$EG^2 = \frac{a^2}{2}$

$EG = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

4. Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника $EFG$:

$EF = \frac{a}{2}$

$FG = \frac{a}{2}$

$EG = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Проверим соотношение между квадратами сторон:

$EF^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$

$FG^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$

$EG^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Заметим, что $EF^2 + FG^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

Таким образом, $EF^2 + FG^2 = EG^2$.

По обратной теореме Пифагора, треугольник $EFG$ является прямоугольным, а прямой угол находится напротив наибольшей стороны $EG$, то есть при вершине $F$.

Следовательно, угол $EFG = 90^\circ$.

Ответ:

$90^\circ$

24. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E, F, G$ — середины ребер соответственно $AB, AD, CD$. Найдите угол $EFG$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.
Точки $E$, $F$, $G$ — середины ребер $AB$, $AD$, $CD$ соответственно.

Найти:

Угол $EFG$.

Решение:

Пусть $a$ — длина ребра правильного тетраэдра $ABCD$. Поскольку тетраэдр правильный, все его грани являются равносторонними треугольниками, и длины всех его ребер равны $a$.

1. Рассмотрим отрезок $EF$. Точка $E$ является серединой ребра $AB$. Точка $F$ является серединой ребра $AD$. Отрезок $EF$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии треугольника, $EF$ параллелен $BD$ и его длина равна половине длины стороны $BD$. Так как $BD$ — ребро тетраэдра, $BD = a$. Следовательно, $EF = \frac{1}{2} BD = \frac{a}{2}$.

2. Рассмотрим отрезок $FG$. Точка $F$ является серединой ребра $AD$. Точка $G$ является серединой ребра $CD$. Отрезок $FG$ является средней линией треугольника $ACD$. По свойству средней линии треугольника, $FG$ параллелен $AC$ и его длина равна половине длины стороны $AC$. Так как $AC$ — ребро тетраэдра, $AC = a$. Следовательно, $FG = \frac{1}{2} AC = \frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим отрезок $EG$. Точка $E$ является серединой ребра $AB$. Точка $G$ является серединой ребра $CD$. Ребра $AB$ и $CD$ являются противоположными (скрещивающимися) ребрами правильного тетраэдра. Расстояние между серединами двух скрещивающихся ребер правильного тетраэдра со стороной $a$ равно $\frac{a}{\sqrt{2}}$. Следовательно, $EG = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $EFG$. Мы определили длины всех его сторон: $EF = \frac{a}{2}$
$FG = \frac{a}{2}$
$EG = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Проверим, выполняется ли для этих длин сторон теорема Пифагора. Возведем длины сторон в квадрат: $EF^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$
$FG^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$
$EG^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{2}$

Сложим квадраты длин двух сторон: $EF^2 + FG^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

Мы видим, что $EF^2 + FG^2 = EG^2$. По обратной теореме Пифагора, если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным, и прямой угол лежит напротив большей стороны. В данном случае, сторона $EG$ является гипотенузой, и прямой угол находится при вершине $F$. Следовательно, $\angle EFG = 90^\circ$.

Ответ:

Угол $EFG$ равен $90^\circ$.

25. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1, точка $D$ — середина ребра $BC$. Найдите угол между прямыми $BB_1$ и $AD$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Точка $D$ — середина ребра $BC$.

Перевод в СИ:

Все данные представлены в безразмерных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Угол между прямыми $BB_1$ и $AD$.

Решение:

1. Для того чтобы найти угол между двумя скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $AD$, необходимо перенести одну из прямых параллельно самой себе так, чтобы она пересекалась со второй прямой. Рассмотрим прямую $AA_1$. Она параллельна прямой $BB_1$ ($AA_1 \parallel BB_1$), поскольку $ABCA_1B_1C_1$ — призма, а $AA_1$ и $BB_1$ — ее боковые ребра. Кроме того, прямая $AA_1$ проходит через точку $A$, которая лежит на прямой $AD$.

2. Таким образом, угол между прямыми $BB_1$ и $AD$ равен углу между прямыми $AA_1$ и $AD$. Обозначим этот угол как $\angle DAA_1$.

3. По определению правильной призмы, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ ($AA_1 \perp \text{плоскости } ABC$).

4. Прямая $AD$ лежит в плоскости основания $ABC$, поскольку точка $A$ является вершиной основания, а точка $D$ — серединой ребра $BC$, которое также принадлежит этому основанию.

5. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. В данном случае прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$, а прямая $AD$ лежит в плоскости $ABC$ и проходит через точку $A$ (точку пересечения $AA_1$ с плоскостью $ABC$).

6. Отсюда следует, что прямая $AA_1$ перпендикулярна прямой $AD$ ($AA_1 \perp AD$).

7. Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

26. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, точка $D$ — середина ребра $BC$. Найдите угол между прямыми $A_1C_1$ и $AD$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны $1$. То есть, $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Точка $D$ — середина ребра $BC$.

Дано (перевод в СИ):

Длина ребра призмы $a = 1$ (условная единица, так как задача не требует конкретных физических единиц).

Найти:

Угол между прямыми $A_1C_1$ и $AD$.

Решение:

Для определения угла между прямыми воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат.

Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A(0, 0, 0)$.

Поскольку основание $ABC$ — правильный (равносторонний) треугольник со стороной $1$, и все ребра призмы равны $1$, мы можем задать координаты вершин следующим образом:

Вершина $A$: $A(0, 0, 0)$.

Вершина $B$ лежит на оси $Ox$: $B(1, 0, 0)$.

Вершина $C$ лежит в плоскости $Oxy$. Ее координаты: $C(1 \cdot \cos 60^\circ, 1 \cdot \sin 60^\circ, 0) = C(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Так как призма правильная и высота ее равна $1$, координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1$ получаются сдвигом по оси $Oz$ на $1$:

Вершина $A_1$: $A_1(0, 0, 1)$.

Вершина $C_1$: $C_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Точка $D$ — середина ребра $BC$. Ее координаты найдем как среднее арифметическое координат $B$ и $C$:

$D\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2}\right) = D\left(\frac{1 + 1/2}{2}, \frac{0 + \sqrt{3}/2}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = D\left(\frac{3/2}{2}, \frac{\sqrt{3}/2}{2}, 0\right) = D\left(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right)$.

Найдем векторы, соответствующие прямым $A_1C_1$ и $AD$. Эти векторы будут направляющими для соответствующих прямых:

Вектор $\vec{A_1C_1}$: $\vec{u} = \vec{C_1} - \vec{A_1} = \left(\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 1\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Вектор $\vec{AD}$: $\vec{v} = \vec{D} - \vec{A} = \left(\frac{3}{4} - 0, \frac{\sqrt{3}}{4} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right)$.

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) + (0) \cdot (0) = \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{u}| = |\vec{A_1C_1}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$. (Это логично, так как $A_1C_1$ — ребро основания, длина которого равна $1$).

$|\vec{v}| = |\vec{AD}| = \sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{3}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{3/4}{1 \cdot (\sqrt{3}/2)} = \frac{3/4}{\sqrt{3}/2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$\cos \theta = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значение косинуса, равное $\frac{\sqrt{3}}{2}$, соответствует углу в $30^\circ$ или $\frac{\pi}{6}$ радиан.

Таким образом, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Можно также заметить, что прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $AC$. Следовательно, угол между $A_1C_1$ и $AD$ равен углу между $AC$ и $AD$, то есть углу $\angle CAD$. В равностороннем треугольнике $ABC$, $AD$ является медианой, проведенной к стороне $BC$. В равностороннем треугольнике медиана также является биссектрисой угла, из которого она проведена. Угол $\angle BAC = 60^\circ$. Следовательно, $AD$ делит $\angle BAC$ пополам, и $\angle CAD = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$. Это подтверждает результат, полученный векторным методом.

Ответ:

Угол между прямыми $A_1C_1$ и $AD$ равен $30^\circ$.