Номер 14, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод данных в СИ

Пусть длина ребра куба равна $a$ (условная единица длины, т.к. задача не требует числовых значений).

Найти:

Угол между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Решение

Для определения угла между двумя прямыми в пространстве воспользуемся методом координат.

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $D$ совпала с началом координат $(0, 0, 0)$. Ребра куба $DA$, $DC$ и $DD_1$ направим соответственно вдоль осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$.

Координаты вершин куба при длине ребра $a$ будут следующими:

• $D = (0, 0, 0)$

• $A = (a, 0, 0)$

• $B = (a, a, 0)$

• $C = (0, a, 0)$

• $D_1 = (0, 0, a)$

• $A_1 = (a, 0, a)$

• $B_1 = (a, a, a)$

• $C_1 = (0, a, a)$

Теперь найдем координаты векторов, которые лежат на заданных прямых:

1. Вектор $\vec{BA_1}$:

Начало вектора в точке $B(a, a, 0)$, конец в точке $A_1(a, 0, a)$.

Координаты вектора $\vec{BA_1} = (A_1x - Bx, A_1y - By, A_1z - Bz)$:

$\vec{BA_1} = (a - a, 0 - a, a - 0) = (0, -a, a)$

2. Вектор $\vec{DB_1}$:

Начало вектора в точке $D(0, 0, 0)$, конец в точке $B_1(a, a, a)$.

Координаты вектора $\vec{DB_1} = (B_1x - Dx, B_1y - Dy, B_1z - Dz)$:

$\vec{DB_1} = (a - 0, a - 0, a - 0) = (a, a, a)$

Для нахождения угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ используется формула скалярного произведения:

$\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{DB_1}$:

$\vec{BA_1} \cdot \vec{DB_1} = (0)(a) + (-a)(a) + (a)(a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что косинус угла между ними равен нулю. Следовательно, угол $\theta$ равен $90^\circ$.

Для полноты вычислений найдем длины векторов:

$|\vec{BA_1}| = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{0 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

$|\vec{DB_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos\theta = \frac{0}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{3})} = \frac{0}{a^2\sqrt{6}} = 0$

Следовательно, $\theta = \arccos(0) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.