Номер 8, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AC$ и $DB_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямыми $AC$ и $DB_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $DB_1$ воспользуемся свойством перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим прямую $AC$, являющуюся диагональю основания $ABCD$.

Рассмотрим плоскость $BB_1D_1D$, которая проходит через прямую $DB_1$.

Покажем, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BB_1D_1D$. Для этого достаточно показать, что $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

1. В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Следовательно, $AC \perp BD$. Прямая $BD$ лежит в плоскости $BB_1D_1D$.

2. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, так как это куб. Поскольку прямая $AC$ лежит в плоскости $ABCD$, то $BB_1 \perp AC$.

Мы установили, что прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $BB_1$, которые лежат в плоскости $BB_1D_1D$.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости.

Таким образом, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BB_1D_1D$.

Поскольку прямая $DB_1$ лежит в плоскости $BB_1D_1D$, то прямая $AC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая $DB_1$.

Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $DB_1$ равен $90^\circ$.

Альтернативное решение (векторный метод):

Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Тогда координаты соответствующих вершин будут:

• $A(0,0,0)$
• $C(a,a,0)$
• $D(0,a,0)$
• $B_1(a,0,a)$

Найдем координаты векторов, соответствующих прямым $AC$ и $DB_1$:

Вектор $\vec{AC} = C - A = (a-0, a-0, 0-0) = (a,a,0)$.

Вектор $\vec{DB_1} = B_1 - D = (a-0, 0-a, a-0) = (a,-a,a)$.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB_1} = (a)(a) + (a)(-a) + (0)(a) = a^2 - a^2 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны.

Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $DB_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$