Номер 2, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AB$ и $DA_1$.

3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $CB$.

В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между прямыми $AB$ и $DA_1$.

Дано

Куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$.

Найти

Угол между прямыми $AB$ и $DA_1$.

Решение

Для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $DA_1$, необходимо рассмотреть их взаимное расположение в кубе. Прямая $AB$ является ребром куба. Грань $ADD_1A_1$ является одной из боковых граней куба, и прямая $DA_1$ является её диагональю. Ребро $AB$ перпендикулярно плоскости грани $ADD_1A_1$, так как $AB \perp AD$ (как стороны квадрата $ABCD$) и $AB \perp AA_1$ (как перпендикулярные рёбра куба, выходящие из одной вершины). Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поскольку прямая $DA_1$ лежит в плоскости грани $ADD_1A_1$, то прямая $AB$ перпендикулярна прямой $DA_1$. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

3. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между прямыми $BA$ и $CB_1$.

Дано

Куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$.

Найти

Угол между прямыми $BA$ и $CB_1$.

Решение

Прямые $BA$ и $CB_1$ являются скрещивающимися. Чтобы найти угол между ними, мы можем перенести одну из прямых параллельно самой себе так, чтобы она пересеклась с другой прямой. Прямая $BA$ параллельна прямой $CD$ (как противоположные стороны квадрата $ABCD$). Таким образом, угол между прямыми $BA$ и $CB_1$ равен углу между прямыми $CD$ и $CB_1$. Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. Прямая $CD$ является ребром куба, и она перпендикулярна плоскости грани $BCC_1B_1$. Это следует из того, что $CD \perp CB$ (стороны квадрата $ABCD$) и $CD \perp CC_1$ (рёбра куба, перпендикулярные основанию). Прямая $CB_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$ и, следовательно, лежит в этой плоскости. Поскольку прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $BCC_1B_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, прямая $CD$ перпендикулярна прямой $CB_1$. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.