Номер 3, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В кубе $ABCD A_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Дано: Куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$.

Найти: Угол между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Решение

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $CB_1$, необходимо перенести одну из прямых параллельно самой себе так, чтобы она пересекала другую прямую.

Рассмотрим прямую $BA_1$. В кубе $ABCD A_1B_1C_1D_1$ отрезок $BA_1$ является диагональю грани $ABA_1B_1$.Рассмотрим отрезок $CD_1$. Это диагональ грани $CDD_1C_1$.

Докажем, что прямые $BA_1$ и $CD_1$ параллельны. Для этого удобно использовать метод координат.Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим начало координат в точке $A(0,0,0)$.Тогда координаты вершин куба будут:$A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$.$A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$.

Найдем вектор $\vec{BA_1}$:$\vec{BA_1} = A_1 - B = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$.

Найдем вектор $\vec{CD_1}$:$\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-a, a-a, a-0) = (-a, 0, a)$.

Поскольку векторы $\vec{BA_1}$ и $\vec{CD_1}$ равны, то прямые $BA_1$ и $CD_1$ параллельны.

Теперь задача сводится к нахождению угла между прямыми $CD_1$ и $CB_1$. Эти две прямые пересекаются в точке $C$. Искомый угол равен углу $\angle D_1CB_1$ в треугольнике $D_1CB_1$.

Найдем длины сторон треугольника $D_1CB_1$:

1. Длина $CB_1$: Это диагональ грани $BCC_1B_1$. Так как грань является квадратом со стороной $a$, то по теореме Пифагора: $CB_1 = \sqrt{BC^2 + BB_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Длина $CD_1$: Это длина отрезка, параллельного $BA_1$. Используя координаты $C(a,a,0)$ и $D_1(0,a,a)$: $CD_1 = \sqrt{(0-a)^2 + (a-a)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

3. Длина $D_1B_1$: Это диагональ верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Используя координаты $D_1(0,a,a)$ и $B_1(a,0,a)$: $D_1B_1 = \sqrt{(a-0)^2 + (0-a)^2 + (a-a)^2} = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + 0^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Так как все три стороны треугольника $D_1CB_1$ равны $a\sqrt{2}$, треугольник $D_1CB_1$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle D_1CB_1 = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$