Номер 10, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BC_1$ и $DB_1$.

11. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $CA_1$ и $DC$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BC_1$ и $DB_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

(Для удобства расчетов введем длину ребра куба $a$. Перевод в СИ не требуется, так как задача по геометрии и результат будет в градусах.)

Найти: Угол между прямыми $BC_1$ и $DB_1$.

Решение: Разместим куб в декартовой системе координат. Пусть вершина $D$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин куба будут: $D = (0,0,0)$ $A = (a,0,0)$ $B = (a,a,0)$ $C = (0,a,0)$ $D_1 = (0,0,a)$ $A_1 = (a,0,a)$ $B_1 = (a,a,a)$ $C_1 = (0,a,a)$

Для нахождения угла между прямыми, найдем направляющие векторы этих прямых. Вектор $\vec{BC_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{BC_1} = C_1 - B = (0,a,a) - (a,a,0) = (-a, 0, a)$.

Вектор $\vec{DB_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{DB_1} = B_1 - D = (a,a,a) - (0,0,0) = (a,a,a)$.

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле косинуса угла: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BC_1}$ и $\vec{DB_1}$: $\vec{BC_1} \cdot \vec{DB_1} = (-a)(a) + (0)(a) + (a)(a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы ортогональны (перпендикулярны) друг другу. Следовательно, угол между прямыми $BC_1$ и $DB_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

11. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $CA_1$ и $DC_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

(Для удобства расчетов введем длину ребра куба $a$. Перевод в СИ не требуется, так как задача по геометрии и результат будет в градусах.)

Найти: Угол между прямыми $CA_1$ и $DC_1$.

Решение: Используем ту же систему координат, что и в предыдущей задаче. Пусть вершина $D$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Длина ребра куба равна $a$. Координаты вершин куба: $D = (0,0,0)$ $A = (a,0,0)$ $B = (a,a,0)$ $C = (0,a,0)$ $D_1 = (0,0,a)$ $A_1 = (a,0,a)$ $B_1 = (a,a,a)$ $C_1 = (0,a,a)$

Найдем направляющие векторы прямых $CA_1$ и $DC_1$. Вектор $\vec{CA_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{CA_1} = A_1 - C = (a,0,a) - (0,a,0) = (a, -a, a)$.

Вектор $\vec{DC_1}$ определяется как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{DC_1} = C_1 - D = (0,a,a) - (0,0,0) = (0,a,a)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{CA_1}$ и $\vec{DC_1}$: $\vec{CA_1} \cdot \vec{DC_1} = (a)(0) + (-a)(a) + (a)(a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы ортогональны (перпендикулярны) друг другу. Следовательно, угол между прямыми $CA_1$ и $DC_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.