gdz.top
Номер 15, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков
Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-1146-4
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Обобщающее повторение. Угол между прямыми - номер 15, страница 145.
№14
№15 (с. 145)
Условие. №15 (с. 145)
15. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AD_1$ и $CA_1$.
Решение. №15 (с. 145)
Решение 2 (rus). №15 (с. 145)
Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Найти: Угол между прямыми $AD_1$ и $CA_1$.
Перевод в СИ: Не требуется, так как задача относится к геометрии и не содержит физических величин.
Решение
Для нахождения угла между прямыми $AD_1$ и $CA_1$ воспользуемся методом координат.
Пусть длина ребра куба равна $a$. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $DA$, $DC$, $DD_1$ лежали вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.
Тогда координаты необходимых вершин куба будут следующими:
- $A = (a,0,0)$
- $C = (0,a,0)$
- $D_1 = (0,0,a)$
- $A_1 = (a,0,a)$
Найдем векторы, направляющие прямые $AD_1$ и $CA_1$.
Вектор $\vec{AD_1}$ определяется как разность координат конечной точки $D_1$ и начальной точки $A$:
$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$
Вектор $\vec{CA_1}$ определяется как разность координат конечной точки $A_1$ и начальной точки $C$:
$\vec{CA_1} = A_1 - C = (a-0, 0-a, a-0) = (a, -a, a)$
Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ (и, следовательно, между прямыми, которым эти векторы принадлежат) определяется по формуле косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{CA_1}$:
$\vec{AD_1} \cdot \vec{CA_1} = (-a)(a) + (0)(-a) + (a)(a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$
Так как скалярное произведение векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{CA_1}$ равно нулю, это означает, что данные векторы ортогональны. Следовательно, прямые $AD_1$ и $CA_1$ перпендикулярны друг другу.
Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$.
Ответ: Угол между прямыми $AD_1$ и $CA_1$ равен $90^\circ$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 15 расположенного на странице 145 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №15 (с. 145), авторов: Смирнов (Виктор Анатольевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.