Номер 21, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины ребер соответственно $BC$ и $BD$. Найдите угол между прямыми $AB$ и $EF$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Точка $E$ — середина ребра $BC$.

Точка $F$ — середина ребра $BD$.

Найти:

Угол между прямыми $AB$ и $EF$.

Решение:

Поскольку $ABCD$ — правильный тетраэдр, все его грани являются правильными (равносторонними) треугольниками. В частности, грань $BCD$ является равносторонним треугольником.

Точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $BC$ и $BD$ соответственно в треугольнике $BCD$. Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $BCD$.

По свойству средней линии треугольника, $EF$ параллельна третьей стороне $CD$ и равна ее половине: $EF \parallel CD$ и $EF = \frac{1}{2} CD$.

Угол между двумя скрещивающимися прямыми определяется как угол между одной из этих прямых и прямой, параллельной другой прямой и пересекающей первую. В нашем случае, поскольку $EF \parallel CD$, угол между прямыми $AB$ и $EF$ равен углу между прямыми $AB$ и $CD$.

Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$. Это скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра, то есть они не имеют общих вершин.

Докажем, что эти ребра перпендикулярны.

Пусть $M$ — середина ребра $CD$.

В равностороннем треугольнике $ACD$ отрезок $AM$ является медианой к стороне $CD$. Так как треугольник равносторонний, медиана является также высотой, поэтому $AM \perp CD$.

В равностороннем треугольнике $BCD$ отрезок $BM$ является медианой к стороне $CD$. По той же причине, $BM \perp CD$.

Таким образом, прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $BM$, лежащим в плоскости $AMB$. Следовательно, прямая $CD$ перпендикулярна всей плоскости $AMB$.

Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $AMB$, из того, что $CD \perp \text{плоскости } AMB$, следует, что $CD \perp AB$.

Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $CD$ равен $90^\circ$.

Так как угол между $AB$ и $EF$ равен углу между $AB$ и $CD$, и этот угол равен $90^\circ$.

Ответ:

$90^\circ$.