Номер 28, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

28. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, точка $D$ — середина ребра $BC$. Найдите угол между прямыми $CB_1$ и $AD$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длины всех ребер $a = 1$.

Точка $D$ — середина ребра $BC$.

Перевод в СИ:

Все величины уже представлены в единой системе измерения (условные единицы длины), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Угол $\theta$ между прямыми $CB_1$ и $AD$.

Решение:

Для нахождения угла между прямыми воспользуемся координатным методом.

1.Введение системы координат:

Разместим начало координат в точке $A=(0,0,0)$.

Так как $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками со стороной $a=1$. Боковые ребра перпендикулярны основаниям и также имеют длину 1.

Точка $D$ — середина ребра $BC$. $AD$ является медианой и высотой равностороннего треугольника $ABC$. Длина высоты $h_a$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h_a = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $AD = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Расположим отрезок $AD$ вдоль оси $Ox$. Тогда координаты точки $A=(0,0,0)$ и точки $D=(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$.

Поскольку $AD \perp BC$ и $D$ — середина $BC$, отрезок $BC$ будет перпендикулярен оси $Ox$ и параллелен оси $Oy$. Длина отрезков $BD = DC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}$.

Координаты точек $B$ и $C$ в плоскости $Oxy$ (плоскость основания):

$B = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$

$C = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

Координаты точки $B_1$ (расположена над $B$ на высоте, равной длине бокового ребра, то есть 1, вдоль оси $Oz$):

$B_1 = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$

2.Нахождение векторов направления прямых:

Для прямой $AD$ возьмем вектор $\vec{AD}$. Координаты вектора находятся вычитанием координат начальной точки из координат конечной точки:

$\vec{AD} = D - A = (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$

Модуль (длина) вектора $\vec{AD}$: $||\vec{AD}|| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для прямой $CB_1$ возьмем вектор $\vec{CB_1}$:

$\vec{CB_1} = B_1 - C = (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 1 - 0) = (0, -1, 1)$

Модуль (длина) вектора $\vec{CB_1}$: $||\vec{CB_1}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

3.Вычисление угла между векторами:

Угол $\theta$ между двумя прямыми, заданными векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, определяется по формуле скалярного произведения:

$ \cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||} $

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{CB_1}$:

$ \vec{AD} \cdot \vec{CB_1} = (\frac{\sqrt{3}}{2})(0) + (0)(-1) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0 $

Теперь подставим значения скалярного произведения и модулей векторов в формулу для косинуса угла:

$ \cos \theta = \frac{|0|}{(\frac{\sqrt{3}}{2})(\sqrt{2})} = \frac{0}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = 0 $

Так как $\cos \theta = 0$, то угол $\theta$ равен $90^\circ$. Следовательно, прямые $AD$ и $CB_1$ перпендикулярны.

Ответ:

Угол между прямыми $CB_1$ и $AD$ равен $90^\circ$.