Номер 32, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

32. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, точка $E$ — середина ребра $SC$. Найдите угол между прямыми $AD$ и $BE$.

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Все ребра равны 1: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Точка $E$ - середина ребра $SC$.

Найти:

Угол между прямыми $AD$ и $BE$.

Решение:

1. Поскольку $SABCD$ - правильная четырехугольная пирамида, ее основание $ABCD$ является квадратом. Следовательно, прямая $AD$ параллельна прямой $BC$.

2. Угол между скрещивающимися прямыми $AD$ и $BE$ равен углу между прямой $BC$ (параллельной $AD$) и прямой $BE$. Таким образом, нам нужно найти угол $\angle CBE$.

3. Рассмотрим треугольник $SBC$. Так как все ребра пирамиды равны 1, то $SB = BC = SC = 1$. Следовательно, треугольник $SBC$ является равносторонним.

4. Точка $E$ - середина ребра $SC$. В равностороннем треугольнике $SBC$ медиана $BE$ является также высотой и биссектрисой, проведенной из вершины $B$ к стороне $SC$.

5. Длина медианы $BE$ в равностороннем треугольнике со стороной $a=1$ находится по формуле высоты: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $BE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. Рассмотрим треугольник $BCE$. У нас есть следующие длины сторон и угол:

$BC = 1$ (сторона основания)

$CE = \frac{1}{2} SC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$ (так как $E$ - середина $SC$)

$BE = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (найдено выше)

Угол $\angle BCE$ равен углу $\angle SCB$, который в равностороннем треугольнике $SBC$ равен $60^\circ$.

7. Применим теорему косинусов для угла $\angle CBE$ в треугольнике $BCE$:

$CE^2 = BC^2 + BE^2 - 2 \cdot BC \cdot BE \cdot \cos(\angle CBE)$

Подставляем известные значения:

$(\frac{1}{2})^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle CBE)$

$\frac{1}{4} = 1 + \frac{3}{4} - \sqrt{3} \cdot \cos(\angle CBE)$

$\frac{1}{4} = \frac{7}{4} - \sqrt{3} \cdot \cos(\angle CBE)$

Перенесем слагаемые для выражения $\cos(\angle CBE)$:

$\sqrt{3} \cdot \cos(\angle CBE) = \frac{7}{4} - \frac{1}{4}$

$\sqrt{3} \cdot \cos(\angle CBE) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$\cos(\angle CBE) = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$\cos(\angle CBE) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

8. Поскольку $\cos(\angle CBE) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, угол $\angle CBE$ равен $30^\circ$.

Ответ:

Угол между прямыми $AD$ и $BE$ равен $30^\circ$.