Номер 37, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

37. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямыми AB и $CF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Тангенс угла между прямыми $AB$ и $CF_1$.

Решение:

Поскольку призма является правильной шестиугольной, ее основания представляют собой правильные шестиугольники, а боковые грани - прямоугольники. Все ребра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Для нахождения угла между двумя скрещивающимися прямыми $AB$ и $CF_1$, перенесем одну из прямых параллельно самой себе так, чтобы она пересекала другую прямую.

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ сторона $AB$ параллельна главной диагонали $FC$. Это свойство правильного шестиугольника: стороны, отстоящие друг от друга на две вершины (например, $AB$ и $ED$), параллельны, а также параллельны диагоналям, проходящим через центр (например, $AB$ параллельна $FC$).

Таким образом, угол между прямыми $AB$ и $CF_1$ равен углу между прямыми $FC$ и $CF_1$. Эти две прямые пересекаются в точке $C$. Следовательно, искомый угол - это $\angle FCF_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle FCF_1$. Длина ребра $FF_1$ равна высоте призмы, $FF_1 = 1$. Длина отрезка $FC$ - это длина главной (большой) диагонали правильного шестиугольника $ABCDEF$. Для правильного шестиугольника со стороной $a$, длина главной диагонали равна $2a$. В нашем случае $a = 1$, поэтому $FC = 2 \cdot 1 = 2$. Длина отрезка $CF_1$ является диагональю боковой грани $CC_1F_1F$ (которая является прямоугольником). В прямоугольнике $CC_1F_1F$ стороны $CC_1 = 1$ и $C_1F_1 = FC = 2$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle CC_1F_1$ (прямой угол при $C_1$): $CF_1^2 = CC_1^2 + C_1F_1^2$ $CF_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$ $CF_1 = \sqrt{5}$.

Теперь вернемся к треугольнику $\triangle FCF_1$ со сторонами $FC=2$, $FF_1=1$, $CF_1=\sqrt{5}$. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным: $FC^2 + FF_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$ $CF_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$ Так как $FC^2 + FF_1^2 = CF_1^2$, по обратной теореме Пифагора, треугольник $\triangle FCF_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

Мы ищем тангенс угла $\angle FCF_1$. В прямоугольном треугольнике $\triangle FCF_1$ (угол при $F$ прямой): Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. $\tan(\angle FCF_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{FF_1}{FC}$ $\tan(\angle FCF_1) = \frac{1}{2}$

Ответ:

Тангенс угла между прямыми $AB$ и $CF_1$ равен $1/2$.