Номер 41, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

41. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $BF_1$ и $CC_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Поскольку длина ребер задана в безразмерных единицах (число 1), перевод в систему СИ не требуется, или можно считать, что $1$ единица равна $1$ метру.

Найти:

Угол между прямыми $BF_1$ и $CC_1$.

Решение:

Прямые $BF_1$ и $CC_1$ являются скрещивающимися. Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, необходимо одну из них перенести параллельно самой себе так, чтобы она пересекла другую прямую. Угол между исходными скрещивающимися прямыми будет равен углу между полученными пересекающимися прямыми.

Рассмотрим прямую $CC_1$. Так как $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная призма, все ее боковые ребра параллельны друг другу. В частности, прямая $BB_1$ параллельна прямой $CC_1$.

Таким образом, угол между прямыми $BF_1$ и $CC_1$ равен углу между прямыми $BF_1$ и $BB_1$. Эти две прямые пересекаются в точке $B$. Следовательно, искомый угол - это угол $\angle B_1BF_1$.

Рассмотрим треугольник $BB_1F_1$. Поскольку призма является правильной, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Прямая $B_1F_1$ лежит в плоскости этого основания. Из этого следует, что $BB_1 \perp B_1F_1$.

Значит, треугольник $BB_1F_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.

По условию задачи, все ребра призмы равны 1. Следовательно:

$BB_1 = 1$ (боковое ребро)

$B_1F_1 = 1$ (сторона правильного шестиугольника в верхнем основании)

В прямоугольном треугольнике $BB_1F_1$ тангенс угла $\angle B_1BF_1$ определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:

$\tan(\angle B_1BF_1) = \frac{B_1F_1}{BB_1}$

Подставляем известные значения:

$\tan(\angle B_1BF_1) = \frac{1}{1} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.

Следовательно, $\angle B_1BF_1 = 45^\circ$.

Ответ:

$45^\circ$