Номер 46, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

46. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми $SA$ и $BF$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$.

Длина бокового ребра $l = SA = 2$.

Найти:

Угол между прямыми $SA$ и $BF$.

Перевод в СИ:

Данные величины являются безразмерными длинами, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $SA$ и $BF$ воспользуемся методом координат.

Расположим начало координат $O$ в центре основания пирамиды. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ находится на оси, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через $O$. Пусть эта ось будет осью $Oz$.

Координаты центра основания: $O = (0, 0, 0)$.

Найдем высоту пирамиды $h$. В прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ (где $SO$ — высота, $OA$ — радиус описанной окружности около основания), $SA$ является гипотенузой. В правильном шестиугольнике сторона основания $a$ равна радиусу описанной окружности. Следовательно, $OA = a = 1$.

По теореме Пифагора: $SA^2 = SO^2 + OA^2$.

$l^2 = h^2 + a^2$

$2^2 = h^2 + 1^2$

$4 = h^2 + 1$

$h^2 = 3 \Rightarrow h = \sqrt{3}$.

Таким образом, координаты вершины $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

Расположим вершину $A$ на оси $Ox$. Поскольку $OA = 1$, то $A = (1, 0, 0)$.

Для нахождения координат вершин $B$ и $F$ используем тот факт, что вершины правильного шестиугольника расположены на окружности с радиусом $a=1$ и углы между радиусами, идущими к соседним вершинам, составляют $60^\circ$.

Координаты $B$: $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Координаты $F$: $F = (1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым $SA$ и $BF$:

Вектор $\vec{SA} = A - S = (1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$.

Вектор $\vec{BF} = F - B = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле скалярного произведения: $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{SA} \cdot \vec{BF}$:

$\vec{SA} \cdot \vec{BF} = (1)(0) + (0)(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(0) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{SA}$ и $\vec{BF}$ перпендикулярны. Следовательно, угол между прямыми $SA$ и $BF$ равен $90^\circ$.

Альтернативное геометрическое решение:

1. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Следовательно, прямая $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

2. Так как прямая $BF$ лежит в плоскости основания, то $SO \perp BF$.

3. Рассмотрим плоскость основания. $O$ - центр правильного шестиугольника $ABCDEF$. $A$ - одна из его вершин. $OA$ - радиус описанной окружности, $OA=a=1$.

4. Проведем прямую $OA$. В правильном шестиугольнике прямая $OA$ (соединяющая центр с вершиной) перпендикулярна диагонали $BF$. Это можно показать, например, из симметрии или из координатного представления векторов $\vec{OA} = (1,0,0)$ и $\vec{BF} = (0,-\sqrt{3},0)$, их скалярное произведение равно $0$, что означает $OA \perp BF$.

5. Мы имеем, что прямая $BF$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SO$ и $OA$, которые лежат в одной плоскости $SOA$.

6. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей этой плоскости. Таким образом, $BF \perp \text{плоскости } SOA$.

7. Поскольку прямая $SA$ лежит в плоскости $SOA$, то $BF \perp SA$.

8. Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$.

Ответ:

Угол между прямыми $SA$ и $BF$ равен $90^\circ$.