Номер 3, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между прямой $DA_1$ и плоскостью $BCD_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Угол между прямой $DA_1$ и плоскостью $BCD_1$.

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина $D$ куба находится в начале координат $(0,0,0)$. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин, участвующих в расчете, будут: $D = (0,0,0)$, $A_1 = (a,0,a)$, $B = (a,a,0)$, $C = (0,a,0)$, $D_1 = (0,0,a)$.

1. Найдем направляющий вектор прямой $DA_1$. Вектор $\vec{DA_1}$ определяется как разность координат точки $A_1$ и $D$: $\vec{u} = \vec{DA_1} = A_1 - D = (a,0,a) - (0,0,0) = (a,0,a)$. Для упрощения расчетов можно взять вектор, коллинеарный $\vec{u}$, например, $\vec{u'} = (1,0,1)$.

2. Найдем нормальный вектор плоскости $BCD_1$. Для этого выберем три точки в плоскости: $B(a,a,0)$, $C(0,a,0)$, $D_1(0,0,a)$. Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{CB} = B - C = (a,a,0) - (0,a,0) = (a,0,0)$ $\vec{CD_1} = D_1 - C = (0,0,a) - (0,a,0) = (0,-a,a)$ Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости является векторным произведением этих двух векторов: $\vec{n} = \vec{CB} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & -a & a \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) - \vec{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \vec{k}(a \cdot (-a) - 0 \cdot 0) = 0\vec{i} - a^2\vec{j} - a^2\vec{k} = (0, -a^2, -a^2)$. Для упрощения расчетов можно взять вектор, коллинеарный $\vec{n}$, например, $\vec{n'} = (0,1,1)$ (взяли противоположный вектор, так как нормаль может быть направлена в любую сторону, и мы используем модуль скалярного произведения).

3. Найдем угол $\phi$ между прямой $DA_1$ и плоскостью $BCD_1$. Угол $\phi$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{u'}$ и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n'}$, определяется по формуле: $\sin \phi = \frac{|\vec{u'} \cdot \vec{n'}|}{||\vec{u'}|| \cdot ||\vec{n'}||}$ Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u'} = (1,0,1)$ и $\vec{n'} = (0,1,1)$: $\vec{u'} \cdot \vec{n'} = (1)(0) + (0)(1) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$. Вычислим длины векторов: $||\vec{u'}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$. $||\vec{n'}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$. Теперь подставим значения в формулу для $\sin \phi$: $\sin \phi = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\phi = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ:

Угол между прямой $DA_1$ и плоскостью $BCD_1$ равен $30^\circ$.