Номер 8, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $ABC_1$.

9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Прямая $AC$.
Плоскость $ABC_1$.
(Длина ребра куба не задана, поэтому можно принять ее равной $a$. Перевод в систему СИ не требуется, так как задача носит геометрический характер и не содержит физических величин.)

Найти:

Угол между прямой $AC$ и плоскостью $ABC_1$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Координаты соответствующих вершин куба: $A = (0, 0, 0)$
$B = (a, 0, 0)$
$C = (a, a, 0)$
$C_1 = (a, a, a)$

1. Найдем направляющий вектор прямой $AC$.
Вектор $\vec{AC}$ соединяет точки $A(0,0,0)$ и $C(a,a,0)$.
$ \vec{AC} = C - A = (a - 0, a - 0, 0 - 0) = (a, a, 0) $.
Для удобства вычислений можно использовать более простой направляющий вектор, пропорциональный $\vec{AC}$, например, $\vec{u} = (1, 1, 0)$.

2. Найдем нормальный вектор плоскости $ABC_1$.
Для этого найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в плоскости $ABC_1$. Например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$.
$ \vec{AB} = B - A = (a - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (a, 0, 0) $.
$ \vec{AC_1} = C_1 - A = (a - 0, a - 0, a - 0) = (a, a, a) $.
Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости $ABC_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC_1}$: $ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & a & a \end{vmatrix} $
$ \vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot a) $
$ \vec{n} = 0\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = (0, -a^2, a^2) $.
Для удобства вычислений можно использовать более простой нормальный вектор, пропорциональный $\vec{n}$, например, $\vec{v} = (0, -1, 1)$ (полученный делением на $-a^2$).

3. Вычислим угол $\phi$ между прямой $AC$ и плоскостью $ABC_1$.
Угол $\phi$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{u}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{v}$, определяется формулой: $ \sin \phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|} $

Вычислим скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v}$: $ \vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(0) + (1)(-1) + (0)(1) = 0 - 1 + 0 = -1 $.

Вычислим длины векторов $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$: $ |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} $.
$ |\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} $.

Подставим полученные значения в формулу для синуса угла: $ \sin \phi = \frac{|-1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} $.

Поскольку $ \sin \phi = \frac{1}{2} $ и угол $\phi$ по определению должен быть в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$, то $\phi = 30^\circ$.

Ответ:

Угол между прямой $AC$ и плоскостью $ABC_1$ равен $30^\circ$.