Номер 9, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BDD_1$.

10. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Прямая $AB_1$.

Плоскость $BDD_1$.

Перевод данных в систему СИ:

Данная задача является геометрической, и для ее решения не требуются конкретные числовые значения или перевод в систему СИ. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Найти:

Угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BDD_1$.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

1. Определим координаты вершин куба, приняв вершину $A$ за начало координат. Пусть длина ребра куба $a$.

$A = (0,0,0)$

$B = (a,0,0)$

$C = (a,a,0)$

$D = (0,a,0)$

$A_1 = (0,0,a)$

$B_1 = (a,0,a)$

$C_1 = (a,a,a)$

$D_1 = (0,a,a)$

2. Найдем вектор, задающий прямую $AB_1$.

Вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (a,0,a) - (0,0,0) = (a,0,a)$.

Его длина $||\vec{AB_1}|| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

3. Найдем нормальный вектор к плоскости $BDD_1$. Для этого возьмем векторы, лежащие в плоскости, например, $\vec{DB}$ и $\vec{DD_1}$.

$\vec{DB} = B - D = (a,0,0) - (0,a,0) = (a,-a,0)$.

$\vec{DD_1} = D_1 - D = (0,a,a) - (0,a,0) = (0,0,a)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{DB} \times \vec{DD_1} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & -a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} = \mathbf{i}(-a \cdot a - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot 0 - (-a) \cdot 0) = (-a^2, -a^2, 0)$.

Для удобства можем взять более простой нормальный вектор, пропорциональный $(-a^2, -a^2, 0)$, например $(1,1,0)$ (поделив на $-a^2$).

Длина нормального вектора $||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$.

4. Угол $\phi$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{v}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$, определяется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$

В данном случае $\vec{v} = \vec{AB_1} = (a,0,a)$ и $\vec{n} = (1,1,0)$.

Скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n} = (a)(1) + (0)(1) + (a)(0) = a$.

Подставим значения в формулу:

$\sin \phi = \frac{|a|}{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.

Поскольку $\sin \phi = \frac{1}{2}$, то угол $\phi = 30^\circ$.

Альтернативный геометрический подход:

1. Найдем точку пересечения прямой $AB_1$ с плоскостью $BDD_1$. Проверим, лежит ли точка $B_1$ в плоскости $BDD_1$. Уравнение плоскости $BDD_1$ можно получить, используя нормальный вектор $(1,1,0)$ и точку $D(0,a,0)$: $1(x-0) + 1(y-a) + 0(z-0) = 0 \implies x+y-a=0$. Подставим координаты $B_1(a,0,a)$: $a+0-a=0$. Таким образом, точка $B_1$ лежит в плоскости $BDD_1$. Следовательно, $B_1$ является точкой пересечения прямой $AB_1$ с плоскостью $BDD_1$.

2. Найдем проекцию точки $A$ на плоскость $BDD_1$. Плоскость $BDD_1$ включает в себя точки $B, D, D_1$ и $B_1$. Это диагональное сечение куба $BDD_1B_1$.

Рассмотрим диагональ $AC$ основания $ABCD$. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому $AC \perp BD$.

Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, включая $AC$. То есть, $AC \perp DD_1$.

Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $DD_1$ в плоскости $BDD_1$, то прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$.

Точкой пересечения $AC$ с плоскостью $BDD_1$ является $M$, середина диагонали $BD$ (и $AC$). Следовательно, $M$ — это проекция точки $A$ на плоскость $BDD_1$.

3. Угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BDD_1$ — это угол между прямой $AB_1$ и ее проекцией $MB_1$ на эту плоскость, то есть $\angle AB_1M$.

Рассмотрим треугольник $AMB_1$.

Длина $AB_1$ (диагональ грани $ABB_1A_1$) равна $a\sqrt{2}$.

Длина $AM$ (половина диагонали основания $AC$) равна $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}a\sqrt{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Для нахождения $MB_1$ рассмотрим прямоугольный треугольник $BMB_1$ (так как $BB_1 \perp$ плоскости $ABCD$, а $BM$ лежит в этой плоскости, то $BB_1 \perp BM$).

Длина $BM$ (половина диагонали основания $BD$) равна $BM = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}a\sqrt{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Длина $BB_1$ равна $a$.

По теореме Пифагора для $\triangle BMB_1$: $MB_1 = \sqrt{BM^2 + BB_1^2} = \sqrt{(\frac{a}{\sqrt{2}})^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Теперь проверим треугольник $AMB_1$:

$AM^2 + MB_1^2 = (\frac{a}{\sqrt{2}})^2 + (a\sqrt{\frac{3}{2}})^2 = \frac{a^2}{2} + \frac{3a^2}{2} = \frac{4a^2}{2} = 2a^2$.

$AB_1^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2$.

Поскольку $AM^2 + MB_1^2 = AB_1^2$, треугольник $AMB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Искомый угол $\angle AB_1M$ в прямоугольном треугольнике $AMB_1$ может быть найден с помощью синуса:

$\sin(\angle AB_1M) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AM}{AB_1} = \frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $\angle AB_1M = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$