Номер 16, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $SBD$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. Все ребра равны $1$.

Найти:

Угол между прямой $AB$ и плоскостью $SBD$.

Решение:

Пусть $a$ — длина ребра пирамиды. По условию, $a=1$. Основание $ABCD$ — квадрат, так как пирамида правильная. Пусть $O$ — центр основания $ABCD$ (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$). Так как пирамида правильная, вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. То есть, $SO \perp ABCD$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Рассмотрим прямую $AB$. Точка $B$ лежит в плоскости $SBD$. Для нахождения проекции прямой $AB$ на плоскость $SBD$, необходимо найти проекцию точки $A$ на плоскость $SBD$. Пусть эта проекция будет точка $A'$. Тогда проекцией прямой $AB$ на плоскость $SBD$ будет прямая $BA'$. Искомый угол — это $\angle ABA'$.

Плоскость $SBD$ содержит прямую $BD$ и высоту пирамиды $SO$. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Таким образом, $AC \perp BD$. Также, $SO \perp AC$, поскольку $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, а прямая $AC$ лежит в этой плоскости. Так как прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $SO$, лежащим в плоскости $SBD$, то прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $SBD$.

Точка $O$ является точкой пересечения прямой $AC$ и плоскости $SBD$. Поскольку $AC \perp SBD$, и $A$ лежит на $AC$, то проекцией точки $A$ на плоскость $SBD$ является точка $O$. Таким образом, $A' = O$.

Проекцией прямой $AB$ на плоскость $SBD$ является прямая $BO$. Искомый угол — это угол между прямой $AB$ и её проекцией $BO$, то есть $\angle ABO$.

Рассмотрим треугольник $ABO$. Длина стороны квадрата $AB = a = 1$. Диагональ квадрата $BD = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Точка $O$ — середина диагонали $BD$, поэтому $BO = \frac{BD}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Аналогично, $AO = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Треугольник $ABO$ имеет стороны $AB=1$, $BO=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $AO=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $AO=BO$, треугольник $ABO$ является равнобедренным. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому $\angle AOB = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABO$ является прямоугольным и равнобедренным. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны $45^\circ$. $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Искомый угол $\angle ABA'$ равен $\angle ABO$, то есть $45^\circ$.

Ответ:

$45^\circ$.