Номер 19, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$.

Решение

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Прямая, заданная в условии, — это $BD_1$. Плоскость — это плоскость нижнего основания призмы $ABCDEF$ (обозначена как $ABC$).

Точка $B$ лежит в плоскости $ABC$, поэтому ее проекция на эту плоскость — сама точка $B$.

Так как призма правильная, боковое ребро $D_1D$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, проекция точки $D_1$ на плоскость $ABC$ — это точка $D$.

Проекцией прямой $BD_1$ на плоскость $ABC$ является прямая $BD$.

Искомый угол — это угол между прямыми $BD_1$ и $BD$, то есть $\angle D_1BD$.

Рассмотрим треугольник $D_1DB$. Так как $D_1D$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $D_1D$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $BD$. Значит, треугольник $D_1DB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

Длина ребра $D_1D$ равна 1 по условию (все ребра равны 1). То есть $D_1D = 1$.

Теперь найдем длину отрезка $BD$. Отрезок $BD$ лежит в основании призмы, которое является правильным шестиугольником со стороной, равной 1. Рассмотрим треугольник $BCD$. Это равнобедренный треугольник, так как $BC=CD=1$. Угол внутреннего угла правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Следовательно, $\angle BCD = 120^\circ$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $BCD$ для нахождения стороны $BD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, подставим это значение:

$BD^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 2 + 1$

$BD^2 = 3$

$BD = \sqrt{3}$

Теперь у нас есть катеты прямоугольного треугольника $D_1DB$: $D_1D = 1$ и $BD = \sqrt{3}$. Искомый угол $\alpha = \angle D_1BD$.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

$\tan(\alpha) = \frac{D_1D}{BD}$

$\tan(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$ или $\frac{\pi}{6}$ радиан.

Ответ: $30^\circ$