Номер 26, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $BDD_1$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер призмы равна $1$. То есть, сторона основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Найти:
Угол между прямой $AB$ и плоскостью $BDD_1$.

Решение:
Обозначим искомый угол как $\alpha$.
Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$.
Длина стороны шестиугольника $AB = 1$.
Найдем длину диагонали $BD$. Диагональ $BD$ является малой диагональю правильного шестиугольника.
В правильном шестиугольнике со стороной $a$, малая диагональ равна $a\sqrt{3}$.
Поскольку $a=1$, то $BD = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Также можно найти $BD$ через теорему косинусов. Рассмотрим треугольник $BCD$. Это равнобедренный треугольник со сторонами $BC = CD = 1$. Внутренний угол правильного шестиугольника $\angle BCD = 120^\circ$.
По теореме косинусов для треугольника $BCD$:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$
$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$
$BD^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-1/2)$
$BD^2 = 2 + 1 = 3$
Отсюда $BD = \sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$.
Его стороны: $AB = 1$, $BD = \sqrt{3}$.
Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна $2a$. В нашем случае $AD = 2 \cdot 1 = 2$.
Проверим соотношение для сторон треугольника $ABD$:
$AB^2 + BD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.
$AD^2 = 2^2 = 4$.
Поскольку $AB^2 + BD^2 = AD^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.
Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна прямой $BD$ ($AB \perp BD$).

Далее, рассмотрим прямую $DD_1$. Это боковое ребро призмы. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.
Значит, прямая $DD_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.
Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $ABCDEF$, то $DD_1$ перпендикулярна $AB$ ($DD_1 \perp AB$).

Итак, мы установили, что прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $DD_1$. Обе эти прямые лежат в плоскости $BDD_1$.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$.

Угол между прямой и плоскостью, если прямая перпендикулярна плоскости, равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.