Номер 25, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $FB_1$ и плоскостью $BCC_1$.

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длины ребер уже даны в безразмерных единицах, поэтому перевод не требуется.

Найти:

Угол $\phi$ между прямой $FB_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение:

Для нахождения угла между прямой и плоскостью можно использовать формулу синуса угла между вектором, направляющим прямую, и вектором нормали к плоскости.

1.Определим координаты вершин: Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Поскольку призма правильная, и все ее ребра равны 1, то длина стороны основания $a=1$, и высота призмы $h=1$. Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат: $A(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ $B(1, 0, 0)$ $C(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ $D(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ $E(-1, 0, 0)$ $F(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ Координаты верхних вершин получаются добавлением высоты $h=1$ к z-координатам нижних вершин: $A_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ $B_1(1, 0, 1)$ $C_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

2.Найдем направляющий вектор прямой $FB_1$: Вектор $\vec{FB_1}$ имеет координаты, вычисленные как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{FB_1} = B_1 - F = (1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

3.Найдем вектор нормали к плоскости $BCC_1$: Плоскость $BCC_1$ содержит точки $B(1,0,0)$, $C(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и $C_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$. Два вектора, лежащие в этой плоскости, это, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$: $\vec{BC} = C - B = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ $\vec{BB_1} = B_1 - B = (1 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (0, 0, 1)$ Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCC_1$ можно найти как векторное произведение этих двух векторов: $\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\sqrt{3}/2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-1/2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(-1/2 \cdot 0 - (-\sqrt{3}/2) \cdot 0)$ $\vec{n} = (-\sqrt{3}/2, 1/2, 0)$

4.Вычислим синус угла $\phi$ между прямой и плоскостью: Синус угла $\phi$ между вектором $\vec{v}$ (направляющий вектор прямой) и плоскостью с вектором нормали $\vec{n}$ определяется формулой: $\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$ Вычислим скалярное произведение $\vec{FB_1} \cdot \vec{n}$: $\vec{FB_1} \cdot \vec{n} = (3/2)(-\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3}/2)(1/2) + (1)(0) = -3\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4 + 0 = -4\sqrt{3}/4 = -\sqrt{3}$ Вычислим длины векторов: $||\vec{FB_1}|| = \sqrt{(3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ $||\vec{n}|| = \sqrt{(-\sqrt{3}/2)^2 + (1/2)^2 + 0^2} = \sqrt{3/4 + 1/4 + 0} = \sqrt{4/4} = \sqrt{1} = 1$ Теперь подставим значения в формулу для $\sin \phi$: $\sin \phi = \frac{|-\sqrt{3}|}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

5.Найдем угол $\phi$: $\phi = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^\circ$

Ответ:

$60^\circ$