Номер 18, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой $BE_1$ и плоскостью $ABC$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Длина ребра основания $a = 1$ (безразмерная величина, так как искомое значение - тангенс угла, который является отношением длин, поэтому единицы измерения сокращаются).

Высота призмы $h = 1$ (безразмерная величина).

Найти:

Тангенс угла между прямой $BE_1$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Рассмотрим прямую $BE_1$ и плоскость $ABC$ (плоскость нижнего основания).

Проекцией точки $B$ на плоскость $ABC$ является сама точка $B$, так как $B$ лежит в этой плоскости.

Проекцией точки $E_1$ на плоскость $ABC$ является точка $E$, так как боковое ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ (в правильной призме боковые ребра перпендикулярны основаниям).

Следовательно, проекцией прямой $BE_1$ на плоскость $ABC$ является прямая $BE$.

Искомый угол – это угол между прямой $BE_1$ и ее проекцией $BE$, то есть $\angle E_1BE$.

Рассмотрим треугольник $BEE_1$.

Так как $EE_1 \perp$ плоскости $ABC$, то $EE_1 \perp BE$. Таким образом, треугольник $BEE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$.

Длина ребра $EE_1$ равна высоте призмы, которая по условию равна 1. Следовательно, $EE_1 = 1$.

Для определения длины катета $BE$ необходимо рассмотреть основание призмы – правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной, равной 1.

Диагональ $BE$ является большой диагональю правильного шестиугольника (она соединяет противоположные вершины, проходя через центр). Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны.

Длина стороны шестиугольника $a = 1$.

Следовательно, $BE = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь, в прямоугольном треугольнике $BEE_1$ противолежащий катет к углу $\angle E_1BE$ равен $EE_1 = 1$, а прилежащий катет равен $BE = 2$.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

$\tan(\angle E_1BE) = \frac{EE_1}{BE}$

$\tan(\angle E_1BE) = \frac{1}{2}$

Ответ:

$0.5$