Номер 15, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $SA$ и плоскостью $SBD$.

Дано:

правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, все ребра которой равны $1$.
$AB = BC = CD = DA = 1$
$SA = SB = SC = SD = 1$

Найти:

угол между прямой $SA$ и плоскостью $SBD$.

Решение:

обозначим искомый угол как $\alpha$.

1. по определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

2. пусть $O$ — центр основания $ABCD$. так как пирамида правильная, вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. следовательно, $SO$ — высота пирамиды, и $SO \perp$ плоскости $ABCD$.

3. рассмотрим плоскость $SBD$. она содержит диагональ основания $BD$ и высоту $SO$.

4. диагонали квадрата $ABCD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

5. поскольку $SO \perp$ плоскости $ABCD$, то $SO \perp AC$.

6. поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $SO$ в плоскости $SBD$, то прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $SBD$.

7. точка $A$ принадлежит прямой $AC$. проекцией точки $A$ на плоскость $SBD$ будет точка пересечения прямой $AC$ с плоскостью $SBD$. эта точка — $O$.

8. следовательно, проекцией прямой $SA$ на плоскость $SBD$ является прямая $SO$.

9. искомый угол $\alpha$ равен углу между $SA$ и $SO$, то есть $\angle ASO$.

10. найдем длины необходимых отрезков:
длина ребра основания $a = AB = 1$.
длина бокового ребра $l = SA = 1$.
диагональ основания $AC$. в квадрате $ABCD$ со стороной $1$, $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
отрезок $AO$ является половиной диагонали $AC$, поэтому $AO = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

11. рассмотрим прямоугольный треугольник $ASO$ (так как $SO \perp AO$).
по теореме пифагора: $SO^2 = SA^2 - AO^2$.
$SO^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

12. в прямоугольном треугольнике $ASO$ мы имеем:
$AO = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$SO = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$SA = 1$
мы видим, что $AO = SO$. следовательно, треугольник $ASO$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

13. угол $\alpha = \angle ASO$.
$\cos(\angle ASO) = \frac{SO}{SA} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
таким образом, $\angle ASO = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.