Номер 22, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BF$ и плоскостью $BCC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина всех ребер $a = 1$ (безразмерная величина, не требует перевода).

Найти:

Угол между прямой $BF$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол равен $90^\circ$. Если прямая параллельна плоскости, то угол равен $0^\circ$.

Рассмотрим прямую $BF$ и плоскость $BCC_1$. Точка $B$ принадлежит как прямой $BF$, так и плоскости $BCC_1$.

Для определения угла найдем проекцию точки $F$ на плоскость $BCC_1$. Либо покажем, что прямая $BF$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

1. Рассмотрим прямую $BB_1$. Она является боковым ребром призмы. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Прямая $BF$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Следовательно, прямая $BF$ перпендикулярна прямой $BB_1$.
Таким образом, $BF \perp BB_1$.

2. Рассмотрим прямую $BC$. Она является ребром основания и лежит в плоскости $BCC_1$. Нам нужно проверить, перпендикулярна ли прямая $BF$ прямой $BC$.

Рассмотрим треугольник $FBC$ в плоскости нижнего основания $ABCDEF$.

По условию, все ребра призмы равны $1$. Значит, длина стороны шестиугольника $a = BC = 1$.

Длина отрезка $BF$ является длиной короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$. Длина короткой диагонали равна $a\sqrt{3}$.
Следовательно, $BF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Длина отрезка $FC$ является длиной большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$. Большая диагональ соединяет противолежащие вершины, ее длина равна $2a$. Однако, $F$ и $C$ не являются противолежащими вершинами в шестиугольнике $ABCDEF$ (если $A, B, C, D, E, F$ расположены последовательно). Противолежащие вершины: $A$ и $D$, $B$ и $E$, $C$ и $F$ (если $ABCDEF$ - это обход по кругу, например, по часовой стрелке). То есть $C$ и $F$ - это противолежащие вершины.

Проверим это с помощью координат. Пусть центр основания находится в начале координат $(0,0,0)$. Сторона шестиугольника $a=1$.
Координаты вершин шестиугольника (для $a=1$):
$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$BC = \sqrt{(-1/2 - 1/2)^2 + (\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.
$BF = \sqrt{(1/2 - 1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.
$FC = \sqrt{(1/2 - (-1/2))^2 + (-\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь проверим, является ли треугольник $FBC$ прямоугольным. Для этого применим теорему Пифагора: $BC^2 + BF^2 = FC^2$.
$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.
$FC^2 = 2^2 = 4$.
Так как $BC^2 + BF^2 = FC^2$, треугольник $FBC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.
Следовательно, $BF \perp BC$.

Мы установили, что прямая $BF$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BB_1$ и $BC$), лежащим в плоскости $BCC_1$.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BF$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$