Номер 29, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

29. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AF$ и плоскостью $BDD_1$.

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма. Все ребра призмы равны 1.

Прямая: $AF$.

Плоскость: $BDD_1$.

Все длины даны в относительных единицах, их абсолютное значение не влияет на угол. Для удобства расчетов примем единицу измерения как "единица длины". Длина ребра основания $a=1$ ед. Высота призмы $h=1$ ед.

Угол между прямой $AF$ и плоскостью $BDD_1$.

Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ось $x$ направим вдоль диагонали $AD$.

Тогда координаты вершин нижнего основания (для стороны шестиугольника $s=1$):

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (-1, 0, 0)$
• $F = (\cos(-60^\circ), \sin(-60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Поскольку высота призмы равна 1, координаты точки $D_1$ будут:

• $D_1 = (-1, 0, 1)$

Найдем вектор направления прямой $AF$.

$\vec{v}_{AF} = F - A = (\frac{1}{2} - 1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Длина вектора $AF$: $|\vec{v}_{AF}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости $BDD_1$. Для этого нам нужны два вектора, лежащие в этой плоскости.

$\vec{DB} = B - D = (\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{DD_1} = D_1 - D = (-1 - (-1), 0 - 0, 1 - 0) = (0, 0, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BDD_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DD_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot 0)\vec{i} - (\frac{3}{2} \cdot 1 - 0 \cdot 0)\vec{j} + (\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0)\vec{k} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 0)$

Длина нормального вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.

Угол $\theta$ между прямой $AF$ и плоскостью $BDD_1$ определяется по формуле:

$\sin\theta = \frac{|\vec{v}_{AF} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}_{AF}| \cdot |\vec{n}|}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{v}_{AF} \cdot \vec{n}$:

$\vec{v}_{AF} \cdot \vec{n} = (-\frac{1}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{3}{2}) + (0) \cdot (0) = -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим значения в формулу для $\sin\theta$:

$\sin\theta = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

Следовательно, $\theta = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$.

$30^\circ$