Номер 32, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

32. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BB_1$ и плоскостью $BCE_1$.

Дано
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все рёбра равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:
Угол между прямой $BB_1$ и плоскостью $BCE_1$.

Решение
Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$.
Поскольку призма правильная, и длина стороны основания равна 1, то расстояние от центра до любой вершины основания также равно 1. Вершины шестиугольника можно задать с помощью полярных координат.
Координаты вершин, необходимых для определения прямой $BB_1$ и плоскости $BCE_1$:
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
Поскольку высота призмы $h=1$, координаты соответствующих вершин верхнего основания будут иметь z-координату, увеличенную на 1:
$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

1. Найдем вектор направления прямой $BB_1$.
Вектор $\vec{v} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.
Длина вектора $||\vec{v}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.

2. Найдем нормальный вектор к плоскости $BCE_1$.
Для этого возьмем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например $\vec{BC}$ и $\vec{BE_1}$.
Вектор $\vec{BC} = C - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.
Вектор $\vec{BE_1} = E_1 - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 1)$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BCE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{BC} \times \vec{BE_1}$:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3}))\mathbf{i} - (-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1))\mathbf{j} + (-1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot (-1))\mathbf{k} = 0\mathbf{i} - (-1)\mathbf{j} + \sqrt{3}\mathbf{k} = (0, 1, \sqrt{3})$.
Длина нормального вектора $||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

3. Угол $\phi$ между прямой $BB_1$ (вектор $\vec{v}$) и плоскостью $BCE_1$ (нормальный вектор $\vec{n}$) находится по формуле:
$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$
Сначала вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0)(0) + (0)(1) + (1)(\sqrt{3}) = \sqrt{3}$.
Теперь подставим значения в формулу для $\sin \phi$:
$\sin \phi = \frac{|\sqrt{3}|}{1 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Найдем значение угла $\phi$.
$\phi = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.