Страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AD$ и плоскостью $BEE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a = 1$, и высота призмы $h = 1$.

Найти:

Угол между прямой $AD$ и плоскостью $BEE_1$.

Решение:

1.Анализ прямой $AD$: Прямая $AD$ является одной из больших диагоналей основания $ABCDEF$ правильной шестиугольной призмы. В правильном шестиугольнике большая диагональ проходит через его центр $O$. Таким образом, прямая $AD$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$.

2.Анализ плоскости $BEE_1$: Плоскость $BEE_1$ определяется тремя точками $B$, $E$ и $E_1$. Прямая $BE$ является малой диагональю основания $ABCDEF$. Прямая $EE_1$ является боковым ребром призмы.

3.Взаимное расположение плоскостей: Поскольку призма правильная, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Так как плоскость $BEE_1$ содержит прямую $EE_1$, которая перпендикулярна плоскости $ABCDEF$, то плоскость $BEE_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

4.Нахождение угла между прямой и плоскостью: Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.

* Прямая $AD$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$. * Плоскость $BEE_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. * Линией пересечения этих двух взаимно перпендикулярных плоскостей ($ABCDEF$ и $BEE_1$) является прямая $BE$. * Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, то ее ортогональной проекцией на другую плоскость является их линия пересечения. Таким образом, проекцией прямой $AD$ на плоскость $BEE_1$ является прямая $BE$. * Следовательно, искомый угол между прямой $AD$ и плоскостью $BEE_1$ равен углу между прямыми $AD$ и $BE$.

5.Вычисление угла между прямыми $AD$ и $BE$: Обе прямые $AD$ и $BE$ лежат в плоскости основания $ABCDEF$ и проходят через центр $O$ правильного шестиугольника.

Расположим центр шестиугольника $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Так как сторона шестиугольника $a=1$, вершины можно задать координатами: $A = (1, 0, 0)$ $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $D = (-1, 0, 0)$ $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Прямая $AD$ совпадает с осью $Ox$. В качестве направляющего вектора для прямой $AD$ можно взять $\vec{u} = \vec{OA} = (1, 0, 0)$.

Прямая $BE$ проходит через центр $O$. В качестве направляющего вектора для прямой $BE$ можно взять $\vec{v} = \vec{OB} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Угол $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле: $\cos(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$

Вычислим скалярное произведение: $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(\frac{1}{2}) + (0)(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (0)(0) = \frac{1}{2}$

Вычислим длины векторов: $||\vec{u}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$ $||\vec{v}|| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$

Теперь найдем значение косинуса угла: $\cos(\alpha) = \frac{|\frac{1}{2}|}{1 \cdot 1} = \frac{1}{2}$

Следовательно, угол $\alpha = 60^\circ$.

Ответ:

$60^\circ$

32. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BB_1$ и плоскостью $BCE_1$.

Дано
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все рёбра равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:
Угол между прямой $BB_1$ и плоскостью $BCE_1$.

Решение
Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$.
Поскольку призма правильная, и длина стороны основания равна 1, то расстояние от центра до любой вершины основания также равно 1. Вершины шестиугольника можно задать с помощью полярных координат.
Координаты вершин, необходимых для определения прямой $BB_1$ и плоскости $BCE_1$:
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
Поскольку высота призмы $h=1$, координаты соответствующих вершин верхнего основания будут иметь z-координату, увеличенную на 1:
$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

1. Найдем вектор направления прямой $BB_1$.
Вектор $\vec{v} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.
Длина вектора $||\vec{v}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.

2. Найдем нормальный вектор к плоскости $BCE_1$.
Для этого возьмем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например $\vec{BC}$ и $\vec{BE_1}$.
Вектор $\vec{BC} = C - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.
Вектор $\vec{BE_1} = E_1 - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 1)$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BCE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{BC} \times \vec{BE_1}$:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3}))\mathbf{i} - (-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1))\mathbf{j} + (-1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot (-1))\mathbf{k} = 0\mathbf{i} - (-1)\mathbf{j} + \sqrt{3}\mathbf{k} = (0, 1, \sqrt{3})$.
Длина нормального вектора $||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

3. Угол $\phi$ между прямой $BB_1$ (вектор $\vec{v}$) и плоскостью $BCE_1$ (нормальный вектор $\vec{n}$) находится по формуле:
$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$
Сначала вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0)(0) + (0)(1) + (1)(\sqrt{3}) = \sqrt{3}$.
Теперь подставим значения в формулу для $\sin \phi$:
$\sin \phi = \frac{|\sqrt{3}|}{1 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Найдем значение угла $\phi$.
$\phi = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BF$ и плоскостью $BCE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Найти:

Угол между прямой $BF$ и плоскостью $BCE_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Разместим призму в декартовой системе координат.

Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Вершины правильного шестиугольника со стороной $a=1$ могут быть заданы следующими координатами:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (-1, 0, 0)$
• $E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Поскольку высота призмы также равна 1, координаты соответствующих вершин верхнего основания будут иметь z-координату 1.

• $B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
• $C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
• $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

1. Вектор направления прямой $BF$:

Прямая $BF$ проходит через точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вектор $\vec{l} = \vec{BF} = F - B = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

Длина вектора $|\vec{l}| = |\vec{BF}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.

2. Нормальный вектор плоскости $BCE_1$:

Плоскость $BCE_1$ определяется точками $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{CB} = B - C = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (1, 0, 0)$.

$\vec{CE_1} = E_1 - C = (-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BCE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{CB}$ и $\vec{CE_1}$:

$\vec{n} = \vec{CB} \times \vec{CE_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 0)$

$\vec{n} = 0\mathbf{i} - 1\mathbf{j} - \sqrt{3}\mathbf{k} = (0, -1, -\sqrt{3})$.

Длина нормального вектора $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

3. Угол между прямой и плоскостью:

Синус угла $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec{l}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ определяется формулой:

$\sin \alpha = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| \cdot |\vec{n}|}$.

Скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (0)(0) + (-\sqrt{3})(-1) + (0)(-\sqrt{3}) = 0 + \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу для $\sin \alpha$:

$\sin \alpha = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{3} \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, угол $\alpha = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$.

Ответ:

Угол между прямой $BF$ и плоскостью $BCE_1$ равен $30^\circ$.

34. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $CC_1$ и плоскостью $BDE_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна $1$.

Найти:

Угол между прямой $CC_1$ и плоскостью $BDE_1$.

Решение

Для решения задачи введем систему координат.

Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Так как призма правильная и длина ребра основания равна $1$, а также высота призмы (длина бокового ребра) равна $1$, координаты вершин будут следующими:

Координаты вершин нижнего основания (сторона $a=1$):

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания (с $z$-координатой, увеличенной на $1$):

• $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем направляющий вектор прямой $CC_1$.

Вектор $\vec{v} = \vec{CC_1} = C_1 - C = (-1/2 - (-1/2), \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Модуль вектора $\vec{v}$ равен $||\vec{v}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости $BDE_1$. Для этого возьмем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{DB}$ и $\vec{DE_1}$.

Координаты точек: $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D = (-1, 0, 0)$, $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Вектор $\vec{DB} = B - D = (1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{DE_1} = E_1 - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BDE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DE_1}$:

$\vec{n} = \vec{DB} \times \vec{DE_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \vec{i}((\sqrt{3}/2)(1) - 0(-\sqrt{3}/2)) - \vec{j}((3/2)(1) - 0(1/2)) + \vec{k}((3/2)(-\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2)(1/2))$

$\vec{n} = \vec{i}(\sqrt{3}/2) - \vec{j}(3/2) + \vec{k}(-3\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4)$

$\vec{n} = (\sqrt{3}/2, -3/2, -4\sqrt{3}/4) = (\sqrt{3}/2, -3/2, -\sqrt{3})$

Модуль нормального вектора $\vec{n}$ равен:

$||\vec{n}|| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-3/2)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3/4 + 9/4 + 3} = \sqrt{12/4 + 3} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$.

Угол $\theta$ между прямой (с направляющим вектором $\vec{v}$) и плоскостью (с нормальным вектором $\vec{n}$) определяется по формуле:

$\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0, 0, 1) \cdot (\sqrt{3}/2, -3/2, -\sqrt{3}) = 0 \cdot (\sqrt{3}/2) + 0 \cdot (-3/2) + 1 \cdot (-\sqrt{3}) = -\sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу для $\sin \theta$:

$\sin \theta = \frac{|-\sqrt{3}|}{1 \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, угол $\theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ:

$45^\circ$

35. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $BDE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер $a = 1$.

Найти:

Угол между прямой $AB$ и плоскостью $BDE_1$.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат.

Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$. Так как призма правильная и длина ребра основания $a=1$, то расстояние от центра до любой вершины основания равно $a=1$. Высота призмы также равна $a=1$.

Расположим вершины основания следующим образом:

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания имеют те же координаты по $x$ и $y$, но $z$-координата равна высоте призмы, то есть 1.

• $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем вектор, направляющий прямую $AB$:

$\vec{AB} = B - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Длина вектора $\vec{AB}$:

$||\vec{AB}|| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем нормальный вектор плоскости $BDE_1$. Для этого нам нужны три точки, лежащие в плоскости: $B$, $D$, $E_1$.

• $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $D = (-1, 0, 0)$

• $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Составим два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{DB}$ и $\vec{DE_1}$:

$\vec{DB} = B - D = (1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

$\vec{DE_1} = E_1 - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $BDE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DE_1}$:

$\vec{n} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{pmatrix}$

$n_x = (\sqrt{3}/2)(1) - (0)(-\sqrt{3}/2) = \sqrt{3}/2$

$n_y = -( (3/2)(1) - (0)(1/2) ) = -3/2$

$n_z = (3/2)(-\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2)(1/2) = -3\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4 = -4\sqrt{3}/4 = -\sqrt{3}$

Таким образом, нормальный вектор $\vec{n} = (\sqrt{3}/2, -3/2, -\sqrt{3})$.

Длина нормального вектора:

$||\vec{n}|| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-3/2)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3/4 + 9/4 + 3} = \sqrt{12/4 + 3} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$.

Угол $\theta$ между прямой (направляющий вектор $\vec{v} = \vec{AB}$) и плоскостью (нормальный вектор $\vec{n}$) определяется по формуле:

$\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{n} = (-1/2)(\sqrt{3}/2) + (\sqrt{3}/2)(-3/2) + (0)(-\sqrt{3})$

$= -\sqrt{3}/4 - 3\sqrt{3}/4 + 0 = -4\sqrt{3}/4 = -\sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу для $\sin \theta$:

$\sin \theta = \frac{|-\sqrt{3}|}{1 \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то угол $\theta = 45^\circ$.

Ответ:

Угол между прямой $AB$ и плоскостью $BDE_1$ равен $45^\circ$.

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между плоскостями $ABC_1$ и $BCC_1$.

2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ най

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскости $ABC_1$ и $BCC_1$.

Найти:

Угол между плоскостями $ABC_1$ и $BCC_1$.

Решение

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскость $BCC_1$ является одной из боковых граней куба, то есть плоскостью $BCC_1B_1$.

Рассмотрим ребро $AB$ куба.

По свойствам куба, ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$, так как они являются смежными сторонами квадрата-основания $ABCD$.

Также ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BB_1$, так как они являются смежными сторонами боковой грани $ABB_1A_1$.

Поскольку ребро $AB$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым $BC$ и $BB_1$, которые лежат в плоскости $BCC_1$, то ребро $AB$ перпендикулярно всей плоскости $BCC_1$.

Плоскость $ABC_1$ содержит ребро $AB$.

Согласно определению, если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти две плоскости взаимно перпендикулярны.

Следовательно, плоскость $ABC_1$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$.

Угол между перпендикулярными плоскостями равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между плоскостями $CDD_1$ и $BCD_1$.

2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между плоскостями $ABC_1$ и

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскости $\pi_1 = CDD_1$ и $\pi_2 = BCD_1$.

Найти: Угол между плоскостями $CDD_1$ и $BCD_1$.

Решение: Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $CDD_1$ совпадает с гранью $DCC_1D_1$ куба. Плоскость $BCD_1$ проходит через вершины $B$, $C$ и $D_1$.

1. Найдем линию пересечения плоскостей $CDD_1$ и $BCD_1$. Обе плоскости содержат точки $C$ и $D_1$. Следовательно, линия их пересечения - это прямая $CD_1$.

2. Рассмотрим ребро $BC$ куба. Ребро $BC$ перпендикулярно ребру $CD$, так как $ABCD$ - квадрат (основание куба). То есть $BC \perp CD$. Ребро $BC$ также перпендикулярно ребру $DD_1$, так как $DD_1$ является боковым ребром, перпендикулярным плоскости основания $ABCD$, в которой лежит $BC$. То есть $BC \perp DD_1$.

3. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CD$ и $DD_1$, лежащим в плоскости $CDD_1$ (которая является гранью $DCC_1D_1$), то прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $CDD_1$.

4. Прямая $BC$ лежит в плоскости $BCD_1$.

5. Согласно определению, если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости, то эти две плоскости перпендикулярны. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости $BCD_1$ и перпендикулярна плоскости $CDD_1$, то плоскости $BCD_1$ и $CDD_1$ перпендикулярны.

Следовательно, угол между плоскостями $CDD_1$ и $BCD_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

3. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между плоскостями $AB C_1$ и $BCD$.

4. В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $AD$. Най-

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Угол между плоскостями $AB C_1$ и $BCD_1$.

Решение:

Для определения угла между двумя плоскостями используем метод нормальных векторов. Пусть длина ребра куба равна $a$. Введем систему координат с началом в точке $D$.

Координаты вершин куба:

• $D=(0,0,0)$

• $C=(a,0,0)$

• $B=(a,a,0)$

• $A=(0,a,0)$

• $D_1=(0,0,a)$

• $C_1=(a,0,a)$

• $B_1=(a,a,a)$

• $A_1=(0,a,a)$

Плоскость $AB C_1$:

Возьмем три точки, принадлежащие плоскости: $A(0,a,0)$, $B(a,a,0)$, $C_1(a,0,a)$.Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{AB} = B - A = (a-0, a-a, 0-0) = (a, 0, 0)$

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (a-0, 0-a, a-0) = (a, -a, a)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $AB C_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC_1}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & -a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot (-a) - 0 \cdot a) = (0, -a^2, -a^2)$.

Для удобства расчетов можем взять нормальный вектор, пропорциональный $(0, -a^2, -a^2)$, например, $(0, 1, 1)$.

Плоскость $BCD_1$:

Возьмем три точки, принадлежащие плоскости: $B(a,a,0)$, $C(a,0,0)$, $D_1(0,0,a)$.Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{CB} = B - C = (a-a, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$

$\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $BCD_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CD_1}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - a \cdot (-a)) = (a^2, 0, a^2)$.

Для удобства расчетов можем взять нормальный вектор, пропорциональный $(a^2, 0, a^2)$, например, $(1, 0, 1)$.

Угол между плоскостями:

Угол $\theta$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$. Используем формулу для косинуса угла между векторами:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

Где $\vec{n_1} = (0, 1, 1)$ и $\vec{n_2} = (1, 0, 1)$.

Скалярное произведение:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (1)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$

Модули векторов:

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$

Подставляем значения в формулу:

$\cos \theta = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

Следовательно,

$\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$

4. В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $AD$. Найдите угол между плоскостями $ACD$ и $BCE$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Точка $E$ — середина ребра $AD$.

Найти:

Угол между плоскостями $ACD$ и $BCE$.

Решение:

Обозначим длину ребра правильного тетраэдра $ABCD$ как $a$.

Плоскость $ACD$ является одной из граней тетраэдра.

Точка $E$ — середина ребра $AD$. Поскольку ребро $AD$ принадлежит грани $ACD$, точка $E$ также принадлежит плоскости $ACD$.

Точка $C$ является вершиной тетраэдра и, очевидно, принадлежит плоскости $ACD$.

Так как точки $C$ и $E$ принадлежат обеим плоскостям $ACD$ и $BCE$, то прямая $CE$ является линией пересечения этих двух плоскостей.

Рассмотрим проекцию вершины $B$ на плоскость грани $ACD$. В правильном тетраэдре проекция вершины на противоположную грань совпадает с центроидом этой грани. Обозначим эту проекцию как $H$. Таким образом, $H$ — центроид треугольника $ACD$.

В равностороннем треугольнике $ACD$ медиана $CE$ (соединяющая вершину $C$ с серединой противоположной стороны $AD$) проходит через центроид $H$. Следовательно, точка $H$ лежит на отрезке $CE$.

Поскольку $BH$ является высотой тетраэдра, проведенной из вершины $B$ к плоскости $ACD$, то по определению $BH \perp \text{плоскости } ACD$.

Мы установили, что точка $H$ лежит на прямой $CE$. Так как прямая $CE$ является частью плоскости $BCE$ (поскольку $C \in BCE$ и $E \in BCE$), и точка $B$ также принадлежит плоскости $BCE$, то прямая $BH$ полностью лежит в плоскости $BCE$.

Таким образом, мы имеем плоскость $BCE$, содержащую прямую $BH$, которая перпендикулярна плоскости $ACD$. По свойству перпендикулярности плоскостей, если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти две плоскости перпендикулярны.

Следовательно, плоскости $ACD$ и $BCE$ перпендикулярны.

Угол между перпендикулярными плоскостями равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Для проверки приведем координатное решение.

Разместим тетраэдр в декартовой системе координат. Пусть вершина $C$ находится в начале координат $C(0,0,0)$.

Пусть ребро $CD$ лежит на оси $Ox$, тогда $D(a,0,0)$.

Вершина $A$ лежит в плоскости $Oxy$. Так как $\triangle ACD$ равносторонний, $A(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Таким образом, плоскость $ACD$ совпадает с плоскостью $Oxy$, и ее нормальный вектор равен $\vec{n}_{ACD} = (0,0,1)$.

Координаты вершины $B$ в таком расположении: $B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3})$.

Точка $E$ — середина ребра $AD$. Ее координаты: $E(\frac{A_x+D_x}{2}, \frac{A_y+D_y}{2}, \frac{A_z+D_z}{2}) = (\frac{a/2+a}{2}, \frac{a\sqrt{3}/2+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0)$.

Найдем нормальный вектор плоскости $BCE$. Для этого используем векторы $\vec{CE}$ и $\vec{CB}$.

$\vec{CE} = E - C = (\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0)$.

$\vec{CB} = B - C = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3})$.

Нормальный вектор $\vec{n}_{BCE}$ пропорционален векторному произведению $\vec{CE} \times \vec{CB}$:

$\vec{n}_{BCE} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{3a}{4} & \frac{a\sqrt{3}}{4} & 0 \\ \frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{6} & \frac{a\sqrt{6}}{3} \end{vmatrix}$

$x$-компонента: $(\frac{a\sqrt{3}}{4})(\frac{a\sqrt{6}}{3}) - (0)(\frac{a\sqrt{3}}{6}) = \frac{a^2\sqrt{18}}{12} = \frac{3a^2\sqrt{2}}{12} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.

$y$-компонента: $-[(\frac{3a}{4})(\frac{a\sqrt{6}}{3}) - (0)(\frac{a}{2})] = -\frac{3a^2\sqrt{6}}{12} = -\frac{a^2\sqrt{6}}{4}$.

$z$-компонента: $(\frac{3a}{4})(\frac{a\sqrt{3}}{6}) - (\frac{a\sqrt{3}}{4})(\frac{a}{2}) = \frac{3a^2\sqrt{3}}{24} - \frac{a^2\sqrt{3}}{8} = \frac{a^2\sqrt{3}}{8} - \frac{a^2\sqrt{3}}{8} = 0$.

Итак, нормальный вектор плоскости $BCE$ равен $\vec{n}_{BCE} = (\frac{a^2\sqrt{2}}{4}, -\frac{a^2\sqrt{6}}{4}, 0)$.

Для удобства можем выбрать пропорциональный вектор, например, $\vec{n}_{BCE}' = (\sqrt{2}, -\sqrt{6}, 0)$.

Угол $\phi$ между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n}_{ACD} \cdot \vec{n}_{BCE}'|}{|\vec{n}_{ACD}| |\vec{n}_{BCE}'|}$

$\vec{n}_{ACD} \cdot \vec{n}_{BCE}' = (0)(\sqrt{2}) + (0)(-\sqrt{6}) + (1)(0) = 0$.

Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Следовательно, плоскости перпендикулярны.

$\cos \phi = \frac{0}{|\vec{n}_{ACD}| |\vec{n}_{BCE}'|} = 0$.

Таким образом, $\phi = \arccos(0) = 90^\circ$.

Ответ:

$90^\circ$.

5. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, точка $E$ — середина ребра $SC$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $BDE$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Точка $E$ — середина ребра $SC$.

Перевод в СИ:

Все длины заданы в безразмерных единицах, поскольку искомая величина — угол, который является безразмерной величиной. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Угол между плоскостями $ABC$ и $BDE$.

Решение

Для решения задачи используем координатный метод. Разместим пирамиду в декартовой системе координат. Пусть центр основания $O$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Так как $ABCD$ — квадрат со стороной $a=1$, координаты вершин основания будут:

$A = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

$B = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

$C = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

$D = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

Высота пирамиды $h=SO$. В правильной пирамиде $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Длина бокового ребра $SC=1$. Расстояние от центра основания $O$ до вершины $C$ равно длине половины диагонали основания. Диагональ квадрата со стороной $a=1$ равна $\sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Следовательно, $OC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $SOC$ (с прямым углом при $O$) по теореме Пифагора имеем:

$SO^2 + OC^2 = SC^2$

$h^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1^2$

$h^2 + \frac{2}{4} = 1$

$h^2 + \frac{1}{2} = 1$

$h^2 = \frac{1}{2}$

$h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, координаты вершины $S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Точка $E$ — середина ребра $SC$. Ее координаты вычисляются как среднее арифметическое координат $S$ и $C$:

$E = \left(\frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

Плоскость $ABC$ является плоскостью основания пирамиды и лежит в плоскости $z=0$. Нормальный вектор к плоскости $ABC$ может быть взят как $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$.

Для нахождения нормального вектора к плоскости $BDE$ используем координаты точек $B\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$, $D\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$, $E\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости $BDE$:

$\vec{DB} = B - D = \left(\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 0 - 0\right) = (1, -1, 0)$

$\vec{DE} = E - D = \left(\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}), \frac{1}{4} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{4} - 0\right) = \left(\frac{1}{4} + \frac{2}{4}, \frac{1}{4} - \frac{2}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $BDE$ можно найти как векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DE}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{\sqrt{2}}{4} \end{vmatrix}$

$\vec{n_2} = \mathbf{i}\left((-1)\cdot\frac{\sqrt{2}}{4} - 0\cdot(-\frac{1}{4})\right) - \mathbf{j}\left(1\cdot\frac{\sqrt{2}}{4} - 0\cdot\frac{3}{4}\right) + \mathbf{k}\left(1\cdot(-\frac{1}{4}) - (-1)\cdot\frac{3}{4}\right)$

$\vec{n_2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}\mathbf{i} - \frac{\sqrt{2}}{4}\mathbf{j} + \left(-\frac{1}{4} + \frac{3}{4}\right)\mathbf{k}$

$\vec{n_2} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{2}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{1}{2}\right)$

Для удобства вычислений умножим $\vec{n_2}$ на скаляр 4, получим сонаправленный вектор $\vec{n_2}' = (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 2)$.

Угол $\theta$ между двумя плоскостями определяется по формуле косинуса угла между их нормальными векторами:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}'|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}'||}$

Скалярное произведение $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}' = (0)(-\sqrt{2}) + (0)(-\sqrt{2}) + (1)(2) = 2$.

Модули векторов:

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$

$||\vec{n_2}'|| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 2 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Подставляем значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{|2|}{1 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, угол $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

6. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDЕF найдите угол между плоскостями SAD и SBE.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

(Перевод данных в систему СИ не требуется, так как отсутствуют числовые значения с единицами измерения.)

Найти:

Угол между плоскостями $SAD$ и $SBE$.

Решение:

Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду $SABCDEF$. По определению правильной пирамиды, в основании лежит правильный многоугольник (в данном случае, правильный шестиугольник $ABCDEF$), а вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Следовательно, отрезок $SO$ является высотой пирамиды, и $SO \perp$ плоскости основания $ABCDEF$.

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ главные диагонали $AD$ и $BE$ проходят через его центр $O$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $AD$ и серединой отрезка $BE$.

Рассмотрим плоскость $SAD$. Она определяется точками $S$, $A$ и $D$. Поскольку $O$ лежит на отрезке $AD$, а $SO$ перпендикулярна плоскости основания (и, следовательно, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $AD$), то $SO \perp AD$. Так как точки $S$ и $O$ лежат в плоскости $SAD$, вся прямая $SO$ также лежит в плоскости $SAD$.

Аналогично, рассмотрим плоскость $SBE$. Она определяется точками $S$, $B$ и $E$. Поскольку $O$ лежит на отрезке $BE$, а $SO \perp BE$, то прямая $SO$ лежит в плоскости $SBE$.

Так как прямая $SO$ лежит как в плоскости $SAD$, так и в плоскости $SBE$, то прямая $SO$ является линией пересечения этих двух плоскостей.

Угол между двумя плоскостями (диэдральный угол) определяется как угол между двумя прямыми, каждая из которых лежит в одной из плоскостей, проходит через общую точку на линии их пересечения и перпендикулярна к этой линии пересечения.

В данном случае, линией пересечения является прямая $SO$.

В плоскости $SAD$ через точку $O$ (которая лежит на линии $SO$) проходит прямая $AD$. Мы уже установили, что $AD \perp SO$.

В плоскости $SBE$ через точку $O$ (которая также лежит на линии $SO$) проходит прямая $BE$. Мы также установили, что $BE \perp SO$.

Следовательно, угол между плоскостями $SAD$ и $SBE$ равен углу между прямыми $AD$ и $BE$.

Прямые $AD$ и $BE$ являются главными диагоналями правильного шестиугольника и пересекаются в его центре $O$.

В правильном шестиугольнике, все шесть треугольников, образованных соединением центра с вершинами (например, $\triangle OAB$, $\triangle OBC$, $\triangle OCD$, $\triangle ODE$, $\triangle OEF$, $\triangle OFA$), являются равносторонними. Это означает, что угол между любыми двумя смежными радиусами, идущими из центра к вершинам, равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$.

Например, $\angle AOB = 60^\circ$, $\angle BOC = 60^\circ$, $\angle COD = 60^\circ$, $\angle DOE = 60^\circ$, $\angle EOF = 60^\circ$, $\angle FOA = 60^\circ$.

Прямая $AD$ совпадает с прямой, проходящей через $A$, $O$, $D$. Прямая $BE$ совпадает с прямой, проходящей через $B$, $O$, $E$.

Угол между прямыми $AD$ и $BE$, пересекающимися в точке $O$, может быть представлен как $\angle AOB$ или $\angle DOE$. Оба этих угла равны $60^\circ$.

Таким образом, угол между плоскостями $SAD$ и $SBE$ равен $60^\circ$.

Ответ:

$60^\circ$.

7. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ найдите угол между плоскостями $AFF_1$ и $ACC_1$.

8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ найдите

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Плоскости: $AFF_1$ и $ACC_1$.

Перевод в СИ:

Для геометрических задач, не содержащих численных значений, перевод в СИ не требуется. Используем обозначения $a$ для стороны основания и $h$ для высоты призмы.

Найти:

Угол между плоскостями $AFF_1$ и $ACC_1$.

Решение:

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными их линии пересечения. Эти прямые должны быть проведены из одной точки на линии пересечения.

1. Определим линию пересечения плоскостей $AFF_1$ и $ACC_1$. Обе плоскости содержат общую вершину $A$. Так как $AA_1$ является ребром призмы, плоскость $AFF_1$ содержит ребро $AA_1$ (являясь боковой гранью $AFF_1A_1$). Плоскость $ACC_1$ также содержит ребро $AA_1$ (так как $A_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$). Следовательно, линия пересечения плоскостей $AFF_1$ и $ACC_1$ — это прямая $AA_1$.

2. Из точки $A$ (лежащей на линии пересечения $AA_1$) проведем прямые, перпендикулярные $AA_1$, по одной в каждой плоскости.

В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, $AA_1 \perp AF$ (так как $AF$ лежит в плоскости основания) и $AA_1 \perp AC$ (так как $AC$ лежит в плоскости основания).

При этом прямая $AF$ лежит в плоскости $AFF_1$, а прямая $AC$ лежит в плоскости $ACC_1$.

3. Таким образом, угол между плоскостями $AFF_1$ и $ACC_1$ равен углу между прямыми $AF$ и $AC$, то есть $\angle FAC$.

4. Найдем значение угла $\angle FAC$. Рассмотрим основание призмы – правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть длина стороны шестиугольника будет $a$.

Длина стороны $AF = a$.

Длина диагонали $AC$ в правильном шестиугольнике, соединяющей вершины через одну, равна $a\sqrt{3}$. Это можно показать, рассмотрев треугольник $ABC$. В $\triangle ABC$ стороны $AB=BC=a$, а угол $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = a^2 + a^2 - 2a^2(-1/2) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$. Значит, $AC = a\sqrt{3}$.

Длина диагонали $FC$ в правильном шестиугольнике. Вершина $F$ и вершина $C$ являются противоположными вершинами в шестиугольнике (то есть они находятся на одной главной диагонали, проходящей через центр шестиугольника). Поэтому длина $FC$ равна удвоенной длине стороны, то есть $FC = 2a$.

5. Рассмотрим треугольник $FAC$ со сторонами $AF=a$, $AC=a\sqrt{3}$ и $FC=2a$. Применим теорему косинусов для нахождения угла $\angle FAC$ (обозначим его $\alpha$):

$FC^2 = AF^2 + AC^2 - 2 \cdot AF \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$

$(2a)^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 - 2 \cdot a \cdot (a\sqrt{3}) \cdot \cos(\alpha)$

$4a^2 = a^2 + 3a^2 - 2a^2\sqrt{3} \cos(\alpha)$

$4a^2 = 4a^2 - 2a^2\sqrt{3} \cos(\alpha)$

$0 = -2a^2\sqrt{3} \cos(\alpha)$

Так как $a \neq 0$, то $2a^2\sqrt{3} \neq 0$. Следовательно, $\cos(\alpha) = 0$.

Это означает, что $\alpha = 90^\circ$.

Таким образом, угол между плоскостями $AFF_1$ и $ACC_1$ равен $90^\circ$.

Ответ:

Угол между плоскостями $AFF_1$ и $ACC_1$ равен $90^\circ$.

8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, найдите

угол между плоскостями $ABB_1$ и $AEE_1$.

Дано: правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти: угол между плоскостями $ABB_1$ и $AEE_1$.

Решение:

Для того чтобы найти угол между двумя плоскостями, необходимо определить линию их пересечения, а затем построить в каждой из плоскостей прямую, перпендикулярную линии пересечения в одной и той же точке. Угол между этими двумя прямыми и будет искомым углом между плоскостями.

1. Определим линию пересечения плоскостей $ABB_1$ и $AEE_1$. Обе плоскости содержат общее ребро $AA_1$. Следовательно, линия пересечения этих плоскостей - прямая $AA_1$.

2. Выберем точку $A$ на линии пересечения $AA_1$. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Это означает, что $AA_1 \perp AB$ (поскольку $AB$ лежит в плоскости основания) и $AA_1 \perp AE$ (поскольку $AE$ также лежит в плоскости основания).

   Таким образом, $AB$ — это прямая, лежащая в плоскости $ABB_1$ и перпендикулярная $AA_1$ в точке $A$.

   А $AE$ — это прямая, лежащая в плоскости $AEE_1$ и перпендикулярная $AA_1$ в точке $A$.

   Следовательно, искомый угол между плоскостями $ABB_1$ и $AEE_1$ равен углу между прямыми $AB$ и $AE$, то есть $\angle BAE$.

3. Найдем значение угла $\angle BAE$ в основании призмы, которое представляет собой правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ — центр этого шестиугольника.

   Правильный шестиугольник можно разбить на шесть равных правильных треугольников, соединив его вершины с центром $O$. Таким образом, углы, образованные радиусами, идущими к соседним вершинам, равны $60^\circ$. Например, $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOE = \angle EOF = \angle FOA = 60^\circ$.

   Угол $\angle BAE$ является вписанным углом в окружности, описанной вокруг шестиугольника (все вершины шестиугольника лежат на этой окружности). Этот угол опирается на дугу $BE$.

   Дуга $BE$ состоит из трех дуг: $BC$, $CD$ и $DE$. Каждая из этих дуг соответствует центральному углу $60^\circ$.

   Следовательно, центральный угол, опирающийся на дугу $BE$, равен $\angle BOE = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE = 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$.

   Так как центральный угол $\angle BOE = 180^\circ$, отрезок $BE$ является диаметром описанной окружности.

   Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен $90^\circ$.

   Таким образом, $\angle BAE = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

9. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, найдите угол между плоскостями $ACC_1$ и $AEE_1$.

10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, найдите

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Плоскости $ACC_1$ и $AEE_1$.

Найти:

Угол между плоскостями $ACC_1$ и $AEE_1$.

Решение

1.Определение линии пересечения плоскостей.

Обе заданные плоскости, $ACC_1$ и $AEE_1$, проходят через общую прямую $AA_1$. Следовательно, линия их пересечения — это прямая $AA_1$.

2.Построение перпендикулярной плоскости.

Поскольку данная призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Таким образом, плоскость нижнего основания $ABCDEF$ перпендикулярна боковому ребру $AA_1$, которое является линией пересечения плоскостей.

3.Нахождение прямых пересечения в перпендикулярной плоскости.

Угол между двумя плоскостями равен углу между прямыми, по которым эти плоскости пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. В нашем случае, перпендикулярная плоскость — это плоскость основания $ABCDEF$.

Плоскость $ACC_1$ пересекается с плоскостью основания $ABCDEF$ по прямой $AC$.

Плоскость $AEE_1$ пересекается с плоскостью основания $ABCDEF$ по прямой $AE$.

Следовательно, искомый угол между плоскостями $ACC_1$ и $AEE_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $AE$ в плоскости основания, то есть углу $\angle CAE$.

4.Вычисление угла в основании.

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть длина стороны шестиугольника равна $a$.

Внутренний угол правильного шестиугольника вычисляется по формуле: $\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$, где $n$ — количество сторон. Для шестиугольника $n=6$, поэтому каждый внутренний угол равен $\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Таким образом, $\angle FAB = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как это правильный шестиугольник, $AB=BC=a$. Треугольник $ABC$ является равнобедренным с углом при вершине $\angle ABC = 120^\circ$. Углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $AFE$. $AF=FE=a$. Треугольник $AFE$ является равнобедренным с углом при вершине $\angle AFE = 120^\circ$. Углы при основании $AE$ равны: $\angle FAE = \angle FEA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Теперь мы можем найти угол $\angle CAE$. Он находится внутри угла $\angle FAB$:
$\angle CAE = \angle FAB - \angle BAC - \angle FAE$

Подставим известные значения:
$\angle CAE = 120^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

Ответ:

$60^\circ$

10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ найдите угол между плоскостями $AFF_1$ и $BCC_1$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти: Угол между плоскостями $AFF_1$ и $BCC_1$.

Решение:

1. Рассмотрим плоскости $AFF_1$ и $BCC_1$. Плоскость $AFF_1$ содержит боковую грань $AA_1F_1F$. Плоскость $BCC_1$ содержит боковую грань $BB_1C_1C$. Обе эти плоскости являются вертикальными, так как они содержат боковые ребра призмы ($AA_1$, $FF_1$, $BB_1$, $CC_1$), которые перпендикулярны плоскостям оснований.

2. Найдем линию пересечения этих двух плоскостей. Поскольку боковые ребра призмы параллельны друг другу ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$), линия пересечения плоскостей $AFF_1$ и $BCC_1$ будет также параллельна этим ребрам, то есть она будет вертикальной. Эта линия пересечения проходит через точку пересечения прямых $AF$ и $BC$ в плоскости основания $ABCDEF$. Пусть $K$ - точка пересечения прямых $AF$ и $BC$ в плоскости основания. Тогда линия пересечения плоскостей $AFF_1$ и $BCC_1$ - это прямая $KK_1$, где $KK_1 \parallel AA_1$.

3. Угол между двумя плоскостями определяется как угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях, которые перпендикулярны их линии пересечения и пересекаются в одной точке на этой линии. В данном случае, прямые $AF$ (лежащая в плоскости $AFF_1$) и $BC$ (лежащая в плоскости $BCC_1$) находятся в плоскости основания призмы, которая перпендикулярна вертикальной линии пересечения $KK_1$. Следовательно, $AF \perp KK_1$ и $BC \perp KK_1$. Также эти прямые пересекаются в точке $K$ (которая лежит на линии $KK_1$). Таким образом, угол между плоскостями $AFF_1$ и $BCC_1$ равен углу между прямыми $AF$ и $BC$ в плоскости основания.

4. Найдем угол между прямыми $AF$ и $BC$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$.

В правильном шестиугольнике все внутренние углы равны $\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Стороны $AF$ и $CD$ являются параллельными в правильном шестиугольнике ($AF \parallel CD$).

Угол между прямыми $BC$ и $CD$ равен внутреннему углу шестиугольника, то есть $\angle BCD = 120^\circ$.

Поскольку прямая $AF$ параллельна прямой $CD$, угол между прямыми $BC$ и $AF$ равен углу между прямыми $BC$ и $CD$. Этот угол равен $120^\circ$.

Угол между двумя прямыми по определению является острым или прямым (от $0^\circ$ до $90^\circ$). Если мы получаем тупой угол, то нужно взять его смежный угол. В данном случае, угол между прямыми $BC$ и $AF$ составляет $120^\circ$. Соответствующий острый угол будет $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, угол между плоскостями $AFF_1$ и $BCC_1$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ найдите угол между плоскостями $AFF_1$ и $DEE_1$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти: Угол между плоскостями $AFF_1$ и $DEE_1$.

Решение:

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между линиями, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к их линии пересечения. В правильной призме боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Это означает, что плоскости боковых граней (таких как $AFF_1$ и $DEE_1$) перпендикулярны плоскостям оснований.

Линия пересечения плоскостей $AFF_1$ и $DEE_1$ будет параллельна боковым рёбрам призмы (например, $AA_1$). Поскольку эти плоскости перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$, угол между ними равен углу между их следами (линиями пересечения) на плоскости этого основания. Следы плоскостей $AFF_1$ и $DEE_1$ на плоскости основания $ABCDEF$ — это прямые, содержащие стороны $AF$ и $DE$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ соответственно. Таким образом, задача сводится к нахождению угла между прямыми, на которых лежат стороны $AF$ и $DE$ правильного шестиугольника.

Пусть длина стороны правильного шестиугольника равна $a$. Расположим центр шестиугольника $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин нижнего основания ($z=0$) можно записать:
$A = (a, 0, 0)$
$F = (a \cos(-60^\circ), a \sin(-60^\circ), 0) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$
$D = (a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 0) = (-a, 0, 0)$
$E = (a \cos(-120^\circ), a \sin(-120^\circ), 0) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$

Теперь определим векторы, соответствующие сторонам $AF$ и $DE$:
$\vec{AF} = F - A = (a/2 - a, -a\sqrt{3}/2 - 0, 0) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.
$\vec{DE} = E - D = (-a/2 - (-a), -a\sqrt{3}/2 - 0, 0) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.

Угол $\theta$ между двумя векторами можно найти с помощью формулы косинуса угла через скалярное произведение:
$\cos \theta = \frac{\vec{AF} \cdot \vec{DE}}{|\vec{AF}| |\vec{DE}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AF}$ и $\vec{DE}$:
$\vec{AF} \cdot \vec{DE} = (-a/2)(a/2) + (-a\sqrt{3}/2)(-a\sqrt{3}/2) + (0)(0) = -a^2/4 + 3a^2/4 = 2a^2/4 = a^2/2$.

Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{AF}| = \sqrt{(-a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{a^2/4 + 3a^2/4} = \sqrt{a^2} = a$.
$|\vec{DE}| = \sqrt{(a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{a^2/4 + 3a^2/4} = \sqrt{a^2} = a$.

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{a^2/2}{a \cdot a} = \frac{a^2/2}{a^2} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, угол $\theta$ равен:
$\theta = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Геометрическое рассуждение также подтверждает этот результат. В правильном шестиугольнике сторона $AF$ параллельна стороне $CD$ ($AF \parallel CD$), а сторона $DE$ параллельна стороне $AB$ ($DE \parallel AB$). Следовательно, угол между прямыми $AF$ и $DE$ равен углу между прямыми $CD$ и $AB$. Если продлить стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения, они образуют угол $60^\circ$. Это обусловлено тем, что каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, а угол между несмежными сторонами, образуемый их продолжениями, является дополнительным к углу $120^\circ$ или формирует вершину равностороннего треугольника, образованного пересечением продолжений сторон.

Ответ: $60^\circ$.