Номер 6, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDЕF найдите угол между плоскостями SAD и SBE.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

(Перевод данных в систему СИ не требуется, так как отсутствуют числовые значения с единицами измерения.)

Найти:

Угол между плоскостями $SAD$ и $SBE$.

Решение:

Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду $SABCDEF$. По определению правильной пирамиды, в основании лежит правильный многоугольник (в данном случае, правильный шестиугольник $ABCDEF$), а вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Следовательно, отрезок $SO$ является высотой пирамиды, и $SO \perp$ плоскости основания $ABCDEF$.

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ главные диагонали $AD$ и $BE$ проходят через его центр $O$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $AD$ и серединой отрезка $BE$.

Рассмотрим плоскость $SAD$. Она определяется точками $S$, $A$ и $D$. Поскольку $O$ лежит на отрезке $AD$, а $SO$ перпендикулярна плоскости основания (и, следовательно, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $AD$), то $SO \perp AD$. Так как точки $S$ и $O$ лежат в плоскости $SAD$, вся прямая $SO$ также лежит в плоскости $SAD$.

Аналогично, рассмотрим плоскость $SBE$. Она определяется точками $S$, $B$ и $E$. Поскольку $O$ лежит на отрезке $BE$, а $SO \perp BE$, то прямая $SO$ лежит в плоскости $SBE$.

Так как прямая $SO$ лежит как в плоскости $SAD$, так и в плоскости $SBE$, то прямая $SO$ является линией пересечения этих двух плоскостей.

Угол между двумя плоскостями (диэдральный угол) определяется как угол между двумя прямыми, каждая из которых лежит в одной из плоскостей, проходит через общую точку на линии их пересечения и перпендикулярна к этой линии пересечения.

В данном случае, линией пересечения является прямая $SO$.

В плоскости $SAD$ через точку $O$ (которая лежит на линии $SO$) проходит прямая $AD$. Мы уже установили, что $AD \perp SO$.

В плоскости $SBE$ через точку $O$ (которая также лежит на линии $SO$) проходит прямая $BE$. Мы также установили, что $BE \perp SO$.

Следовательно, угол между плоскостями $SAD$ и $SBE$ равен углу между прямыми $AD$ и $BE$.

Прямые $AD$ и $BE$ являются главными диагоналями правильного шестиугольника и пересекаются в его центре $O$.

В правильном шестиугольнике, все шесть треугольников, образованных соединением центра с вершинами (например, $\triangle OAB$, $\triangle OBC$, $\triangle OCD$, $\triangle ODE$, $\triangle OEF$, $\triangle OFA$), являются равносторонними. Это означает, что угол между любыми двумя смежными радиусами, идущими из центра к вершинам, равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$.

Например, $\angle AOB = 60^\circ$, $\angle BOC = 60^\circ$, $\angle COD = 60^\circ$, $\angle DOE = 60^\circ$, $\angle EOF = 60^\circ$, $\angle FOA = 60^\circ$.

Прямая $AD$ совпадает с прямой, проходящей через $A$, $O$, $D$. Прямая $BE$ совпадает с прямой, проходящей через $B$, $O$, $E$.

Угол между прямыми $AD$ и $BE$, пересекающимися в точке $O$, может быть представлен как $\angle AOB$ или $\angle DOE$. Оба этих угла равны $60^\circ$.

Таким образом, угол между плоскостями $SAD$ и $SBE$ равен $60^\circ$.

Ответ:

$60^\circ$.