Номер 10, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ найдите угол между плоскостями $AFF_1$ и $BCC_1$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти: Угол между плоскостями $AFF_1$ и $BCC_1$.

Решение:

1. Рассмотрим плоскости $AFF_1$ и $BCC_1$. Плоскость $AFF_1$ содержит боковую грань $AA_1F_1F$. Плоскость $BCC_1$ содержит боковую грань $BB_1C_1C$. Обе эти плоскости являются вертикальными, так как они содержат боковые ребра призмы ($AA_1$, $FF_1$, $BB_1$, $CC_1$), которые перпендикулярны плоскостям оснований.

2. Найдем линию пересечения этих двух плоскостей. Поскольку боковые ребра призмы параллельны друг другу ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$), линия пересечения плоскостей $AFF_1$ и $BCC_1$ будет также параллельна этим ребрам, то есть она будет вертикальной. Эта линия пересечения проходит через точку пересечения прямых $AF$ и $BC$ в плоскости основания $ABCDEF$. Пусть $K$ - точка пересечения прямых $AF$ и $BC$ в плоскости основания. Тогда линия пересечения плоскостей $AFF_1$ и $BCC_1$ - это прямая $KK_1$, где $KK_1 \parallel AA_1$.

3. Угол между двумя плоскостями определяется как угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях, которые перпендикулярны их линии пересечения и пересекаются в одной точке на этой линии. В данном случае, прямые $AF$ (лежащая в плоскости $AFF_1$) и $BC$ (лежащая в плоскости $BCC_1$) находятся в плоскости основания призмы, которая перпендикулярна вертикальной линии пересечения $KK_1$. Следовательно, $AF \perp KK_1$ и $BC \perp KK_1$. Также эти прямые пересекаются в точке $K$ (которая лежит на линии $KK_1$). Таким образом, угол между плоскостями $AFF_1$ и $BCC_1$ равен углу между прямыми $AF$ и $BC$ в плоскости основания.

4. Найдем угол между прямыми $AF$ и $BC$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$.

В правильном шестиугольнике все внутренние углы равны $\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Стороны $AF$ и $CD$ являются параллельными в правильном шестиугольнике ($AF \parallel CD$).

Угол между прямыми $BC$ и $CD$ равен внутреннему углу шестиугольника, то есть $\angle BCD = 120^\circ$.

Поскольку прямая $AF$ параллельна прямой $CD$, угол между прямыми $BC$ и $AF$ равен углу между прямыми $BC$ и $CD$. Этот угол равен $120^\circ$.

Угол между двумя прямыми по определению является острым или прямым (от $0^\circ$ до $90^\circ$). Если мы получаем тупой угол, то нужно взять его смежный угол. В данном случае, угол между прямыми $BC$ и $AF$ составляет $120^\circ$. Соответствующий острый угол будет $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, угол между плоскостями $AFF_1$ и $BCC_1$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$