Номер 14, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ найдите угол между плоскостями $ACC_1$ и $BFF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти:

Угол между плоскостями $ACC_1$ и $BFF_1$.

Решение:

1. Плоскость $ACC_1$ содержит боковое ребро $CC_1$. Поскольку призма является правильной, все боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Из этого следует, что плоскость $ACC_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

2. Аналогично, плоскость $BFF_1$ содержит боковое ребро $FF_1$, которое также перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, плоскость $BFF_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

3. Если две плоскости (в данном случае $ACC_1$ и $BFF_1$) перпендикулярны третьей плоскости (основанию $ABCDEF$), то угол между этими двумя плоскостями равен углу между их линиями пересечения с третьей плоскостью.

4. Линия пересечения плоскости $ACC_1$ с плоскостью основания $ABCDEF$ — это диагональ $AC$ правильного шестиугольника.

5. Линия пересечения плоскости $BFF_1$ с плоскостью основания $ABCDEF$ — это диагональ $BF$ правильного шестиугольника.

6. Таким образом, задача сводится к нахождению угла между диагоналями $AC$ и $BF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ в его основании.

7. Рассмотрим правильный шестиугольник с центром $O$ и стороной $a$. Угол между двумя плоскостями определяется как острый угол между их нормалями или, в данном случае, как острый угол между линиями их пересечения с перпендикулярной им плоскостью.

8. Расположим центр шестиугольника $O$ в начале координат $(0,0)$. Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a$ можно записать, например, так:

$A = (a, 0)$

$B = (a \cos 60^\circ, a \sin 60^\circ) = (a/2, a\sqrt{3}/2)$

$C = (a \cos 120^\circ, a \sin 120^\circ) = (-a/2, a\sqrt{3}/2)$

$F = (a \cos 300^\circ, a \sin 300^\circ) = (a/2, -a\sqrt{3}/2)$

9. Найдем векторы, соответствующие диагоналям $AC$ и $BF$:

$\vec{AC} = C - A = (-a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0) = (-3a/2, a\sqrt{3}/2)$

$\vec{BF} = F - B = (a/2 - a/2, -a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2) = (0, -a\sqrt{3})$

10. Вычислим длины этих векторов:

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-3a/2)^2 + (a\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9a^2/4 + 3a^2/4} = \sqrt{12a^2/4} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

$|\vec{BF}| = \sqrt{0^2 + (-a\sqrt{3})^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

11. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BF}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{BF} = (-3a/2)(0) + (a\sqrt{3}/2)(-a\sqrt{3}) = 0 - (a\sqrt{3})^2/2 = -3a^2/2$

12. Угол $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле $\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

$\cos\alpha = \frac{-3a^2/2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{-3a^2/2}{3a^2} = -1/2$

13. Следовательно, $\alpha = \arccos(-1/2) = 120^\circ$.

14. Угол между плоскостями всегда принимается как острый или прямой (от $0^\circ$ до $90^\circ$). Если угол между направляющими векторами линий составляет $120^\circ$, то острый угол между этими линиями (и, соответственно, между плоскостями) равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$