Номер 17, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями $BCE_1$ и $BCC_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все рёбра призмы равны 1. То есть, сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Перевод в СИ:
Поскольку все длины заданы в безразмерных единицах (равны 1), перевод в СИ не требуется.

Найти:

Угол между плоскостями $BCE_1$ и $BCC_1$.

Решение

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях, которые перпендикулярны к линии их пересечения в одной и той же точке.

1.Найдём линию пересечения плоскостей $BCE_1$ и $BCC_1$.
Обе плоскости содержат точки $B$ и $C$. Следовательно, линия их пересечения - это прямая $BC$.

2.Найдём прямую в плоскости $BCC_1$, перпендикулярную $BC$ в точке $C$.
Плоскость $BCC_1$ - это боковая грань $BCC_1B_1$. Поскольку призма правильная, боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Значит, $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$, а следовательно, $CC_1$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через $C$, в том числе и $BC$.
Таким образом, $CC_1$ лежит в плоскости $BCC_1$ и $CC_1 \perp BC$. Длина $CC_1 = 1$.

3.Найдём прямую в плоскости $BCE_1$, перпендикулярную $BC$ в точке $C$.
Для этого рассмотрим треугольник $BCE_1$. Найдём длины его сторон.
$BC = 1$ (сторона основания шестиугольника).
$CE$ - это короткая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Для шестиугольника со стороной $a$, длина короткой диагонали равна $a\sqrt{3}$.
Следовательно, $CE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$BE$ - это длинная диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Для шестиугольника со стороной $a$, длина длинной диагонали равна $2a$.
Следовательно, $BE = 2 \cdot 1 = 2$.
Теперь найдём $CE_1$ и $BE_1$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $CEE_1$ (прямой угол в $E$, так как $EE_1$ перпендикулярна плоскости основания).
$CE_1 = \sqrt{CE^2 + EE_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BEE_1$ (прямой угол в $E$).
$BE_1 = \sqrt{BE^2 + EE_1^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
Итак, стороны треугольника $BCE_1$ равны: $BC=1$, $CE_1=2$, $BE_1=\sqrt{5}$.
Проверим, является ли $\triangle BCE_1$ прямоугольным, используя теорему Пифагора:
$BC^2 + CE_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.
Так как $BC^2 + CE_1^2 = BE_1^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $BCE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.
Следовательно, $CE_1 \perp BC$. Прямая $CE_1$ лежит в плоскости $BCE_1$.

4.Определим угол между плоскостями.
Угол между плоскостями $BCE_1$ и $BCC_1$ - это угол между прямыми $CC_1$ и $CE_1$, то есть $\angle E_1CC_1$.
Рассмотрим треугольник $C_1CE_1$.
Его стороны: $CC_1 = 1$ (боковое ребро призмы).
$C_1E_1$ - короткая диагональ верхнего основания, её длина равна $\sqrt{3}$.
$CE_1 = 2$ (вычислено ранее).
Поскольку $CC_1$ перпендикулярна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, то $CC_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через $C_1$, в том числе и $C_1E_1$.
Следовательно, треугольник $C_1CE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C_1$.
В прямоугольном треугольнике $C_1CE_1$ нам нужно найти угол $\angle E_1CC_1$.
Косинус этого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(\angle E_1CC_1) = \frac{CC_1}{CE_1}$.
$\cos(\angle E_1CC_1) = \frac{1}{2}$.
Из этого следует, что $\angle E_1CC_1 = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$