gdz.top
Номер 1, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков
Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-1146-4
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Обобщающее повторение. Угол между прямыми - номер 1, страница 150.
№17
№1 (с. 150)
Условие. №1 (с. 150)
1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $CA_1$.
Решение. №1 (с. 150)
Решение 2 (rus). №1 (с. 150)
Дано:
Куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$.
Найти:
Косинус угла между прямыми $AB$ и $CA_1$.
Решение:
Пусть длина ребра куба равна $a$.
Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.
Оси координат направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$.
Тогда координаты вершин будут:
$A = (0,0,0)$
$B = (a,0,0)$
$C = (a,a,0)$
$A_1 = (0,0,a)$
Для прямой $AB$ направляющим вектором является вектор $\vec{AB}$.
$\vec{AB} = B - A = (a-0, 0-0, 0-0) = (a,0,0)$.
В качестве направляющего вектора $\vec{u}$ прямой $AB$ можно взять вектор $(1,0,0)$, поделив на $a$.
Для прямой $CA_1$ направляющим вектором является вектор $\vec{CA_1}$.
$\vec{CA_1} = A_1 - C = (0-a, 0-a, a-0) = (-a,-a,a)$.
В качестве направляющего ветора $\vec{v}$ прямой $CA_1$ можно взять вектор $(1,1,-1)$, умножив координаты на $-\frac{1}{a}$.
Косинус угла $\theta$ между двумя прямыми определяется формулой:
$\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(1) + (0)(1) + (0)(-1) = 1 + 0 + 0 = 1$.
Вычислим длины (модули) векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:
$|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.
$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
Теперь подставим эти значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Рационализируем знаменатель:
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ:
$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 150 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1 (с. 150), авторов: Смирнов (Виктор Анатольевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.