Номер 11, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ найдите угол между плоскостями $AFF_1$ и $DEE_1$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Найти: Угол между плоскостями $AFF_1$ и $DEE_1$.

Решение:

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между линиями, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к их линии пересечения. В правильной призме боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Это означает, что плоскости боковых граней (таких как $AFF_1$ и $DEE_1$) перпендикулярны плоскостям оснований.

Линия пересечения плоскостей $AFF_1$ и $DEE_1$ будет параллельна боковым рёбрам призмы (например, $AA_1$). Поскольку эти плоскости перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$, угол между ними равен углу между их следами (линиями пересечения) на плоскости этого основания. Следы плоскостей $AFF_1$ и $DEE_1$ на плоскости основания $ABCDEF$ — это прямые, содержащие стороны $AF$ и $DE$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ соответственно. Таким образом, задача сводится к нахождению угла между прямыми, на которых лежат стороны $AF$ и $DE$ правильного шестиугольника.

Пусть длина стороны правильного шестиугольника равна $a$. Расположим центр шестиугольника $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин нижнего основания ($z=0$) можно записать:
$A = (a, 0, 0)$
$F = (a \cos(-60^\circ), a \sin(-60^\circ), 0) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$
$D = (a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 0) = (-a, 0, 0)$
$E = (a \cos(-120^\circ), a \sin(-120^\circ), 0) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$

Теперь определим векторы, соответствующие сторонам $AF$ и $DE$:
$\vec{AF} = F - A = (a/2 - a, -a\sqrt{3}/2 - 0, 0) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.
$\vec{DE} = E - D = (-a/2 - (-a), -a\sqrt{3}/2 - 0, 0) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.

Угол $\theta$ между двумя векторами можно найти с помощью формулы косинуса угла через скалярное произведение:
$\cos \theta = \frac{\vec{AF} \cdot \vec{DE}}{|\vec{AF}| |\vec{DE}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AF}$ и $\vec{DE}$:
$\vec{AF} \cdot \vec{DE} = (-a/2)(a/2) + (-a\sqrt{3}/2)(-a\sqrt{3}/2) + (0)(0) = -a^2/4 + 3a^2/4 = 2a^2/4 = a^2/2$.

Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{AF}| = \sqrt{(-a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{a^2/4 + 3a^2/4} = \sqrt{a^2} = a$.
$|\vec{DE}| = \sqrt{(a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{a^2/4 + 3a^2/4} = \sqrt{a^2} = a$.

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{a^2/2}{a \cdot a} = \frac{a^2/2}{a^2} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, угол $\theta$ равен:
$\theta = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Геометрическое рассуждение также подтверждает этот результат. В правильном шестиугольнике сторона $AF$ параллельна стороне $CD$ ($AF \parallel CD$), а сторона $DE$ параллельна стороне $AB$ ($DE \parallel AB$). Следовательно, угол между прямыми $AF$ и $DE$ равен углу между прямыми $CD$ и $AB$. Если продлить стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения, они образуют угол $60^\circ$. Это обусловлено тем, что каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, а угол между несмежными сторонами, образуемый их продолжениями, является дополнительным к углу $120^\circ$ или формирует вершину равностороннего треугольника, образованного пересечением продолжений сторон.

Ответ: $60^\circ$.