Номер 12, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ найдите угол между плоскостями $AFF_1$ и $BDD_1$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Найти: Угол между плоскостями $AFF_1$ и $BDD_1$.

Решение:

1. Рассмотрим плоскости $AFF_1$ и $BDD_1$. Плоскость $AFF_1$ содержит боковую грань $AFF_1A_1$. Плоскость $BDD_1$ является диагональной плоскостью, проходящей через вершины $B$ и $D$ нижнего основания и соответствующие им вершины $B_1$ и $D_1$ верхнего основания.

2. Так как призма является правильной, ее боковые ребра (например, $AA_1$, $BB_1$, $DD_1$, $FF_1$) перпендикулярны плоскостям оснований. Обе заданные плоскости, $AFF_1$ и $BDD_1$, содержат боковые ребра ($AA_1$ и $FF_1$ для первой, $BB_1$ и $DD_1$ для второй). Это означает, что обе плоскости перпендикулярны плоскости основания призмы.

3. Если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости (в нашем случае, плоскости основания $ABCDEF$), то угол между ними равен углу между их линиями пересечения с этой третьей плоскостью. Линией пересечения плоскости $AFF_1$ с плоскостью основания является прямая, содержащая отрезок $AF$. Линией пересечения плоскости $BDD_1$ с плоскостью основания является прямая, содержащая отрезок $BD$. Таким образом, задача сводится к нахождению угла между прямыми $AF$ и $BD$ в плоскости правильного шестиугольника.

4. Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ в плоскости. Пусть $O$ - центр шестиугольника, и $a$ - длина его стороны. Расположим центр $O$ в начале координат $(0,0)$.

5. Определим координаты вершин, чтобы найти углы наклона прямых. Пусть вершина $A$ лежит на положительной оси X.

• $A = (a, 0)$
• $B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ)) = (a/2, a\sqrt{3}/2)$
• $D = (a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ)) = (-a, 0)$
• $F = (a \cos(300^\circ), a \sin(300^\circ)) = (a/2, -a\sqrt{3}/2)$

6. Найдем угол наклона прямой $AF$.

Угловой коэффициент прямой $AF$ равен $m_{AF} = \frac{y_F - y_A}{x_F - x_A} = \frac{-a\sqrt{3}/2 - 0}{a/2 - a} = \frac{-a\sqrt{3}/2}{-a/2} = \sqrt{3}$.

Угол $\alpha_1$ между прямой $AF$ и положительным направлением оси X определяется как $\tan \alpha_1 = \sqrt{3}$. Следовательно, $\alpha_1 = 60^\circ$.

7. Найдем угол наклона прямой $BD$.

Угловой коэффициент прямой $BD$ равен $m_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{0 - a\sqrt{3}/2}{-a - a/2} = \frac{-a\sqrt{3}/2}{-3a/2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Угол $\alpha_2$ между прямой $BD$ и положительным направлением оси X определяется как $\tan \alpha_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Следовательно, $\alpha_2 = 30^\circ$.

8. Угол между плоскостями $AFF_1$ и $BDD_1$ равен углу между их следами $AF$ и $BD$ на плоскости основания. Этот угол равен абсолютному значению разности углов наклона:

$\theta = |\alpha_1 - \alpha_2| = |60^\circ - 30^\circ| = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$